【信号与系统】06 - 有理系统

合集 - 信号处理(6)

1.【信号与系统】01 - 线性时不变系统2020-02-072.【信号与系统】02 - 傅里叶变换2020-02-083.【信号与系统】03 - 系统函数的性质2020-02-084.【信号与系统】04 - 离散时间信号2020-02-085.【信号与系统】05 - 滤波、采样和通信2020-02-09

6.【信号与系统】06 - 有理系统2020-02-18

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1. 连续有理系统

1.1 系统函数

　　很多物理模型的系统都可以表示为式（1）的线性常微分方程，它显然是一个LIT系统。后面将会看到，这样的系统实现简单，却可以满足复杂的需求。需要注意的是，从系统角度，$x(t),y(t)$分别是输入、输出；但从方程角度，这里$t$是变量，$x(t)$为确定的函数，$y(t)$则是待求的变量。而且我们知道（回顾常微分方程），这个方程由特解$y_0(t)$和齐次解组成（式（2），如果$z_0$是$\sum _{k=0}^n{b}_k{z}^k=0$的$r$重根，那么$e^{z_{0}t},t{e}^{z_{0}t},\cdots ,t^{r-1}{e}^{z_{0}t}$都是齐次解）。它有无穷多组解，即可以代表无穷多个系统。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{k=0}^m{a}_k{x}^{(k)}(t)=\sum _{k=0}^n{b}_k{y}^{(k)}(t)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y(t)=y_0(t)+\sum _{i=1}^n{c}_i{e}_i(t),\sum _{k=0}^n{b}_k{e}_i^{(k)}(t)=0\end{array}$$

　　然而，现实中的系统往往满足初始松弛条件：如果$t<t_0$时$x(t)=0$，那么$t<t_0$时也有$y(t)=0$。这个条件其实暗含了系统的因果性，且由$y^{(n)}(t)$的存在性（以及所有式子非奇异），可知$y(t)$满足边界条件$y(t_0)=y_t^{\prime }(t_0)=\cdots =y_t^{(n-1)}(t_0)=0$，这个边界条件可以确定式（2）的唯一解。满足式（1）和初始松弛的系统，可以认为是唯一的，下面就是分析它的特性。如果想知道系统的单位冲激响应，需把$x(t)=\delta (t)$带入方程，然而对奇异函数的求解是十分困难的。

　　时域上暂时无法分析，下面转向$s$域（频域），来看看系统函数$H(s)$。记$x(t),y(t)$的$s$域系数是$X(s),Y(s)$，根据微分性质计算式（1）的$s$域系数，整理后便有系统函数式（3），它是一个实数域的分式，这样的系统称为有理系统。我们知道，分式可以分解为一阶分式和二阶分式之和，结合ROC便能得知系统的单位冲激响应。然而在没有初始松弛的限定时，分式并不能确定唯一系统。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& H(s)={\displaystyle \frac{Y(s)}{X(s)}}={\displaystyle \frac{\sum _{k=0}^m{a}^k{s}^k}{\sum _{k=0}^n{b}^k{s}^k}}\end{array}$$

　　分式在分母为$0$时无意义，所以它在分母的根上一定不收敛，这些值称为分式的极点。其实，通过繁杂的论证（使用分式分解）可以知道，极点就是有理系统ROC的天然边界。特别地，因果有理系统的ROC是右平面，且以右平面为ROC的有理系统也必然是因果的。还有就是，有理因果系统稳定的充要条件是：所有极点的实部都是负数。

1.2 一阶、二阶系统

　　这里简单讨论一下一阶、二阶微分方程$b_{0}y(t)+b_1{y}^{\prime }(t)+b_2{y}^{″}(t)=x(t)$所代表的因果系统。为了简化讨论，先将系统增益缩为$1/b_0$使得$y(t)$的系数为$1$，再进行频域的伸缩将$y^{″}(t)$或$y^{\prime }(t)$的系数也化为$1$。得到的标准式如式（4）所示（只考虑稳定系统，故最高次系数为正），可以先讨论标准系统的特征，再考虑频域的缩放对原系统的影响。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& y^{\prime }(t)+y(t)=x(t);y^{″}(t)+2\zeta y^{\prime }(t)+y(t)=x(t)\end{array}$$

　　先看一阶系统，它的频率响应为${\displaystyle \frac{1}{1+j\omega }}$，单位冲激响应为$e^{-t}u(t)$。Bode图上（图见上一篇）的分贝数为$-10{\log }_{10}(1+{\omega }^2)$，当$\omega \to 0$时趋于$0$，当$\omega \to \mathrm{\infty }$时趋于$-20{\log }_{10}\omega$。在对数尺度上它们是两条直线，相交点$\omega =1$称为转折频率，此处与原值有最大偏差3dB。Bode图上的相移，当$\omega \to 0$时趋于$0$，当$\omega \to \mathrm{\infty }$时趋于$-\pi /2$，在$\omega \in [0.1,10]$上也有近似直线。这个例子就体现了Bode图的优势。

　　再看二阶系统，其频谱响应为${\displaystyle \frac{1}{(j\omega {)}^2+2\zeta (j\omega )+1}}$，也是一个近似低通滤波，请自行讨论其Bode图的性质。$\zeta >0$称为阻尼系数，当$\zeta >1$时可以拆分为两个一阶系统之和，它称为过阻尼的。当$\zeta <1$时为一般的二阶系统，前面知道，它的单位冲激响应有波动和超量（含正弦函数），称为是欠阻尼的。而$\zeta =1$时为一阶二次系统，称为临界阻尼，它比过阻尼系统有更快的响应速度，又没有欠阻尼系统的波动和超量。

2. 离散有理系统

2.1 系统函数

　　离散信号也有类似的有理系统，它一般表示为式（5）的常系数差分方程，它也是LIT系统。这个方程的解也可以表示为特解和齐次解的线性和（式（6）），如果$z_0$是$\sum _{k=0}^N{b}_k{z}^{N-k}=0$的$r$重根，则$z_0^n,n{z}_0^n,\cdots ,n^{r-1}{z}_0^n$都是齐次解。现实中的系统还要满足初始松弛条件：如果$n<n_0$时$x[n]=0$，那么$n<n_0$时$y[n]=0$。初始松弛了确保了系统的因果性，而且确定了唯一的输出信号，因为式（5）可以看成是递归方程$y[n]=\cdots$。当$N=0$时方程是非递归的，这时可以直接写出单位脉冲响应（式（7），根据脉冲响应的累加性），它是一个有限脉冲响应系统（FIR）。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \sum _{k=0}^M{a}_{k}x[n-k]=\sum _{k=0}^N{b}_{k}y[n-k]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& y[n]=y_0[n]+\sum _{i=1}^n{c}_i{e}_i[n],\sum _{k=0}^n{b}_k{e}_i[n-k]=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& y[n]=\sum _{k=0}^M{a}_{k}x[n-k]\Rightarrow h[n]=a_n,(0⩽n⩽M)\end{array}$$

　　接着利用LT的时移性质，不难得到系统函数为式（8），仍然可以把它看成关于$z^{-1}$的分式。分式的极点其实就是多项式$\sum _{k=0}^N{b}_k{z}^{N-k}$的根，可以证明极点是有理系统ROC的天然边界。特别地，因果有理系统的ROC是一个圆外区域，且以圆外区域为ROC的有理系统也必然是因果的。还有有理因果系统稳定的充要条件是：所有极点都在单位圆内。这些性质都与连续系统相对应。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& H(z)={\displaystyle \frac{Y(z)}{X(z)}}={\displaystyle \frac{\sum _{k=0}^M{a}_k{z}^{-k}}{\sum _{k=0}^N{b}_k{z}^{-k}}}\end{array}$$

　　有了系统函数，便可以将它分解为多个一阶、二阶系统之和，也就能得到单位脉冲响应。另外根据$\delta [n-n_0]\stackrel{Z}{\leftrightarrow }{z}^{-n_0}$可知，如果系统函数能写成式（9）左，则可以直接写出单击脉冲响应（式（9）右）。回看式（7）便有了另外一种解释，对于其它系统函数（不限于有理系统），也可以通过泰勒级数得到式（9）左的格式。
$$\begin{array}{}\text{(9)}& H(s)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k{z}^{-k}\Rightarrow h[n]=a_n\end{array}$$

2.2 一阶、二阶系统

　　现在简单讨论一下一阶、二阶差分方程所代表的系统，由于频域的缩放不同于连续系统，这里的标准式仅将$b_0$统一为$1$。一阶系统（式（10））的频率响应为${\displaystyle \frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}}$，单位脉冲响应为$a^{n}u[n]$（只讨论稳定的因果系统），其中$0<|a|<1$。$a>0$时表现为一个低通滤波，$a\to 1$时往低频集中；$a<0$时则表现为一个高通滤波，但它有震荡和超量。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& y[n]-ay[n-1]=x[n]\end{array}$$

　　二阶差分有标准式（11），其中$0<r<1,0⩽\theta ⩽\pi /2$，它是一个低通滤波，$r\to 1$时往低频集中。这里只讨论稳定的因果系统，且不讨论过阻尼系统（可分解为两个一阶系统之和）。当$\theta >0$时，系统的单位脉冲响应是式（12），它是一个欠阻尼系统，有震荡和超量（$\theta \to \pi /2$时震荡加剧、但过渡带变窄）。当$\theta =0$时，系统的单位脉冲响应是式（12）的极限，它是一个临界阻尼系统，没有震荡和超量。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& y[n]-2r\cos \theta y[n-1]+r^{2}y[n-2]=x[n]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& h[n]={\displaystyle \frac{\sin (n+1)\theta }{\sin \theta }}{r}^{n}u[n]\end{array}$$

3. 线性反馈系统

3.1 线性反馈系统

　　为了实现有理系统，这里需要展开讨论一下反馈系统的概念和性质，限定在LIT中也叫线性反馈系统。反馈系统可以根据之前的输出调整输入信号，以修改后续的输出结果，它有较强的纠错性和抗干扰性。典型的反馈系统如图所示，其中LIT系统$H(s)$和$G(s)$所在的分别叫正向通路和反馈通路，整个构成一个闭环系统，没有反馈通路的系统也叫开环系统。

　　根据$R(s)=X(s)+G(s)Y(s)$和$Y(s)=H(s)R(s)$，可有式（13）成立，也就是说整个闭环系统还是LIT系统，且其系统函数为$Q(s)$（一般假定为因果系统）。$Q(s)$的分式形式会为系统设计带来很大的发挥空间，这里简单举几个例子。比如式（14）是$P(s)$的近似逆系统；式（15）利用稳定的衰减器$K$得到一个稳定的放大器，其中普通放大器$H(s)$是不稳定的。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& Q(s)={\displaystyle \frac{Y(s)}{X(s)}}={\displaystyle \frac{H(s)}{1-G(s)H(s)}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\displaystyle \frac{K}{1+KP(s)}}\approx {\displaystyle \frac{1}{P(s)}},(K\gg 1)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\displaystyle \frac{H(s)}{1+KH(s)}}\approx {\displaystyle \frac{1}{K}},(|KH(s)|\gg 1)\end{array}$$

　　反馈系统另一种广泛的应用是调节稳定性。比如一阶系统$H(s)={\displaystyle \frac{1}{s-a}}$，加上常数反馈$K$便得到可调节系统${\displaystyle \frac{1}{s-a-K}}$。二阶系统${\displaystyle \frac{1}{s^2+as+b}}$需要同时调节一次项和常数项，也只需加上反馈$K_{1}s+K_2$，其中$s$是微分系统。对离散一阶系统${\displaystyle \frac{1}{1-a{z}^{-1}}}$，可以使用时移反馈$K{z}^{-1}$使其变成可调节系统${\displaystyle \frac{1}{1-(a+K)z^{-1}}}$。

3.2 稳定性判定-根轨迹法

　　稳定性在系统设计中，往往是首先要满足的，而稳定性的判定就变得尤为重要。在闭环系统中，一般会给$H(s$或$G(s)$设定一个可调系数，使得系统分母为$1-KG(s)H(s)$。系统稳定的充要条件是，式（16）的根不出现在虚轴及其右半平面上，这里把$D(s)$与$K$分隔开来，是为了分析过程不受$K$的影响。记$D(s)$分子、分母中较高的次数为$N$，则式（16）有$N$个根（可能有重根，对特殊$K$也许少于$N$）。另外我们有理由相信，随着$K$从$-\mathrm{\infty }$到$+\mathrm{\infty }$连续变化，这$N$个根的轨迹一定也是连续的。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& D(s)=G(s)H(s)={\displaystyle \frac{1}{K}}\end{array}$$

　　观察根的轨迹、以判定系统稳定性的方法，就叫根轨迹法。对于简单的分式$D(s)$（次数小且只有一阶因式），其实是可以根据分式特点描述出精确的根轨迹的。首先易知，当$K\to 0$时根趋向于$D(s)$的极点，而$K\to \mathrm{\infty }$时根趋向于$D(s)$的零点。可以想象，每一个极点、零点都是根轨迹的端点；如果把根轨迹按$K$的正负分为两个分支，则每个分支都起于零点而终于极点。然后易知实数轴上的每一点都在根轨迹上，而且被$2N$个极点、零点分隔为$2N$段（两个无穷大视为同一个点，重根之间视长度为$0$），$D(s)$在每一段的值正负交替（最右段为正）。

　　接下来看实轴上的分段与根轨迹分支的关系。如果分段的两端分别为极点、零点，那么这个分段一定是根轨迹的一个分支。否则分段的两端是两个分支的端点（包括重根处），这两个分支在分段上的某一点分道扬镳，进入到实轴外的复平面。而实轴之外的根轨迹一定是以实轴对称的，故两个分支走向相反的反向。当然，出走的分支终会和另一个符号相同、端点互异的分支衔接，极点、零点的成对性可以保证这一点。

　　至于实轴外根轨迹的形状，这里只能做简单讨论。首先，两个分支的相遇点$s_0$其实就是式（16）的重根，所以有$D^{\prime }(s_0)=0$。然后看伸向无穷远的分支（与无穷远的极点、零点会合），记$D(s)$的零点、极点之和分别为$p,q$（不包含无穷点），当$s\to \mathrm{\infty }$时有式（17）成立。利用该式对比$D(s)=-1/K$和$(s-\sigma {)}^l=-1/K$根，可知它们的差随着$s\to \mathrm{\infty }$而趋于$0$。后者的根是$l$条经过$(\sigma ,0)$、角度为$2k\pi /l$的直线，它们就是根轨迹的渐进线。拿二次式举例来说，如果有两个有穷外出点，它们之间的半圆弧就是根轨迹（需证明）；如果只有一个有穷外出点，垂直平分线就是根轨迹。

$$\begin{array}{}\text{(17)}& D(s)={\displaystyle \frac{s^m-p{s}^{m-1}+\cdots }{s^n-q{s}^{n-1}+\cdots }}=(s-\sigma {)}^l+o(s^{l-1}),(l=m-n,\sigma ={\displaystyle \frac{p-q}{l}})\end{array}$$

3.3 稳定性判定-Nyquist判据

　　根轨迹法只能适用于简单的分式，而且难以将轨迹与具体的$K$值相对应。如果有计算机辅助，对具体的$K$值，是可以求解式（6）的根的。但这个方法又缺少对动态的$K$的讨论，而本段介绍的奈奎斯特（Nyquist）判据就可以跟踪$K$值做稳定性判断（需要计算机辅助）。

　　先来复习一下复变分式$D(s)$的性质，它的辐角是所有分子因式$s-{\alpha }_i$的辐角和、减去所有分母因式$s-{\beta }_j$的辐角和。当$s$沿某个闭环（单环）顺时针绕转一周时，对不在闭环内的极点、零点，因式的辐角恢复原值；但对在闭环内的极点、零点，因式的辐角分别增加、减少了$2\pi$；而对闭环上的点则比较复杂，需要单独讨论、或事先排除这种情况。复变函数的辐角变化$2\pi$的整数倍，虽然不影响函数值，但在连续性讨论中（值的轨迹、微分）至关重要。设闭环内有$P$个零点、$Q$个极点，可知$D(s)$辐角总共减少了$2(P-Q)\pi$，即值的轨迹绕原点顺时针旋转了$P-Q$圈。

　　有了这个结论，下面继续讨论式$1-KD(s)$或$F(s)=D(s)-1/K$的零点分布。这里不考虑$K=0$的特殊情况，以及要求$D(s)$分母的阶不小于分子的阶，这样$F(s)$的零点都是有穷的（极点就是$D(s)$的极点，也是有穷的）。构造一个如图所示的闭环，当直径足够大后，它能包含右半平面所有的极点$N_p^{+}$和零点$N_0^{+}$。而直径趋于无穷时，圆弧上趋于定值，$F(s)$的轨迹长度在这里也趋于$0$，所以$F(s)$轨迹最终等价于$F(j\omega )$的轨迹。

　　借助计算机画出$D(j\omega )$的轨迹，它绕$(1/K,0)$顺时针旋转的次数$N_c$，其实就是$F(j\omega )$绕原点顺时针旋转的次数。如果$(1/K,0)$在$D(j\omega )$的轨迹上，说明$F(j\omega )$在虚轴有零点，系统不稳定。否则有关系式$N_c=N_0^{+}-N_p^{+}$，系统稳定的充要条件是$N_0^{+}=0$即$N_c=-N_p^{+}$，描述成$D(j\omega )$的轨迹绕$(1/K,0)$逆时针旋转的次数，应当等于右半平面的极点数。顺便说一句，$N_c$当然也能表示左半平面零点极点的关系，但由于总的零点极点数相等，其实并不会有新鲜的结论。

　　可以看到，把$D(s)$和$K$分割开来，可以跟踪动态$K$对系统稳定性的影响，而且$D(j\omega )$与$(1/K,0)$的距离也能表示系统允许的波动范围，这个距离称为系统的稳定性裕度。还有至于离散系统，把虚轴映射成单位圆，即有系统稳定的充要条件是：$D(e^{j\omega })$在$\omega \in [0,2\pi ]$上的轨迹绕$(1/K,0)$逆时针旋转的次数，应当等于单位圆外的极点数。

3.4 有理系统的框图

　　有理系统不仅功能强大，而且实现简单，本节使用框图来表示有理系统。首先，理论上任何分式都可以分解为简单分式（多项式）的和或者积，只要先构造出简单有理系统，通过级联、并联总可以构造出任何有理系统的框图。然而实际使用中，还要考虑器件的可靠程度和复用程度，比如微分器就没有积分器简易稳定。为了说明问题，先从最简单的一阶分式系统$1/(s-a)$讨论起。结合反馈系统的式（13）、以及尽量使用积分器$1/s$，可设$H(s)=1/s,G(s)=a$。

　　这个框图还有另外一种解释，为此来看系统的微分方程$y^{\prime }(t)-ay(t)=x(t)$，并改写成$x(t)+ay(t)=y^{\prime }(t)$。$ay(t)$是$y(t)$放大后的反馈，且与$x(t)$合并后做为正向通路的输入。再看正向通路输入$y^{\prime }(t)$、输出$y(t)$，$H(s)$自然应当是积分器$1/s$。这种视角可以扩展到任何分式${\displaystyle \frac{1}{f(s)}},f(s)=s^n-a_1{s}^{n-1}-\cdots -a_n$，正向通路上是$n$个积分器，第$k$个积分器的输出放大$a_k$倍后反馈到输入信号。

　　对于一般分式${\displaystyle \frac{g(s)}{f(s)}}$，只需看成两个系统级联${\displaystyle \frac{1}{f(s)}}\cdot g(s)$。其中多项式$g(s)$可直接由微分器和放大器组成，然而利用微分器和积分器的互相抵消，可直接从${\displaystyle \frac{1}{f(s)}}$的积分器后引出所需信号。图示是分式${\displaystyle \frac{s^2+3s+5}{s^2-2s-4}}$的系统框图，这样的图称为直接型框图。值得提醒的是，虽然分析过程使用了系统函数，结果的框图却是与之无关的。这就更加确定，$s$域分析或基波的选择只是工具和跳板，最终还是要回到对时域的影响。

　　最后来看离散系统，所有的分析都很类似，但还是要注意方程不同带来的框图差异。比如分式${\displaystyle \frac{1}{1-a{z}^{-1}}}$所代表的系统$y[n]-ay[n-1]=x[n]$，输出$y[n]$移位放大后的$ay[n-1]$，反馈给$x[n]$后又直接输出为$y[n]$ 。这将导致离散系统直接型框图的一些差异，图示为分式${\displaystyle \frac{1+3z^{-1}+5z^{-2}}{1-2z^{-1}-4z^{-2}}}$的系统框图（$z^{-1}$为移位操作），与差分方程的对应关系还是很直观的。

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 【全篇完】