【信号与系统】05 - 滤波、采样和通信

合集 - 信号处理(6)

1.【信号与系统】01 - 线性时不变系统2020-02-072.【信号与系统】02 - 傅里叶变换2020-02-083.【信号与系统】03 - 系统函数的性质2020-02-084.【信号与系统】04 - 离散时间信号2020-02-08

5.【信号与系统】05 - 滤波、采样和通信2020-02-09

6.【信号与系统】06 - 有理系统2020-02-18

收起

　　本篇将举三个重要的理论或领域，以展示之前信号理论的应用和意义。其中滤波理论和通信系统是非常大的应用领域，这里仅对基础的概念和方法做个介绍，以作入门之用。

1. 滤波系统

1.1 滤波器

　　在系统函数的性质中，我们看到信号在时域上的微分、积分、卷积等复杂运算，在频域都变成了代数运算。这说明分析和使用信号的频域，有其天然的优势，也会带来更广泛的应用。当然，频域的操作最终都体现在时域上，注意讨论其相互关系和平衡，有时也是必需的。滤波系统主要就是以信号的频域为操作对象，具体来说就是调整不同基波的波幅、相位，以使输出信号满足具体需求，这样的系统也叫滤波器（Filter）。

　　在讨论具体滤波器之前，有必要先说清楚系统对信号的频域究竟产生了什么影响。信号的频谱系数$X(j\omega )$是一个复值函数，模$|X(j\omega )|$表示基波峰谷的高度，它称为频谱的幅度；角度$\sphericalangle X(j\omega )$表示基波初始位置，它称为频谱的相位。LIT系统就是将信号的频谱乘上了系统函数$H(j\omega )$，把影响按幅度和相位分开讲，$|H(j\omega )|$称为系统的增益（gain），$\sphericalangle H(j\omega )$叫系统的相移（phase shift）。

　　将频谱的幅度、相位分开展示的坐标图（横坐标为$\omega$）叫模-相图，根据对称性，它们仅需显示正频率部分。为了展示更多的基波频率，以及在系统中经常出现${\log }_{10}\omega$，横坐是对数尺度的。另外，从图中表示相移对相位的影响是简单的，只需在相位上增加相移即可。为了让增益的影响也同样直观，一般把幅度坐标用对数表示，改乘法为加法。其实在现实中，人们对幅度的感知也是对数形式的，比如音量和功率${\log }_{10}|X{|}^2$成正比。一般把${\log }_{10}|X{|}^2$的单位叫做Bel，更常用的单位分贝（dB）是其十分之一，也即模坐标的值是$20{\log }_{10}|X(j\omega )|$。使用以上所有方法的图示称为Bode图。

　　滤波器一般通过修改幅度的方法，选择性保留部分频率的基波、而削弱其它频率的基波，增益恒为$1$的叫全通系统。根据保留频率的不同，有很多直观的术语，这里就不一一阐述了，比如低通/高通/带通滤波、以及滤波的截止频率/通带/阻带。另外，系统的相移会造成基波的时移，这在关心时移的场景里（比如图片），同样是不可忽略的影响。所有不期望发生的增益和相移，都被称为信号的失真。根据信号时移的性质，相同的时移$t_0$对应相移$\omega t_0$，相移要和频率成正比信号才不失真，$t_0$称为系统的群时延。在一般系统的局部，也有近似的群时延$\tau (\omega )$（式（1））。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sphericalangle H(j\omega )=\omega \cdot \tau (\omega )+\varphi (\omega ),\tau (\omega )={\displaystyle \frac{\text{d}[\sphericalangle H(j\omega )]}{\text{d}\omega }}\end{array}$$

1.2 滤波函数

　　理想的滤波器的系统函数只有$0$和$1$两种值，这里就举例不同场景的低通滤波，高通/带通滤波可由其转变而来。为方便叙述，先定义方波函数$U_T(x)$，它仅在$|x|⩽T$时取$1$。如果设低通滤波器$X(j\omega )$为$U_W(\omega )$，不难得到其单位冲激响应$x(t)$（式（2）左）。你可以记忆$\text{sinc}\pi t\stackrel{F}{\leftrightarrow }{U}_{\pi }(\omega )$，另外在$t=0$处就取周边极限值。利用对偶性，就可以得到方波冲激响应的系统函数（式（2）右）。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\displaystyle \frac{\sin Wt}{\pi t}}\stackrel{F}{\leftrightarrow }{U}_W(\omega );U_T(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{2\sin T\omega }{\omega }}\end{array}$$

　　如果记$\text{sinc}(t)=\sin t/t$，则式（2）左就是$W\text{sinc}(Wt)/\pi$。对于比较大的$W$，它就是$\text{sinc}(t)$的横向压缩以及纵向拉升，且能量都集中在原点附近。当$W\to \mathrm{\infty }$时，可知左式在$t=0$处趋于无穷，利用三角积分的值还能算得原点附近的积分趋于$1$。这非常类似$\delta (t)$，其实$W\to \mathrm{\infty }$时$U_W(\omega )$是全通滤波，故它的单位冲激响应就是$\delta (t)$（即恒等变换）。同样道理，式（2）右中$T\to \mathrm{\infty }$时的系统函数近似$2\pi \delta (\omega )$，这与周期函数的FT相一致。

　　为讨论离散信号，对于周期$T$，先定义周期方波$U_{\theta }(x)$，它仅在$|x-kT|⩽\theta T/2$时为$1$。对离散信号的FT，设低通滤波器$X(j\omega )$为$U_{\theta }(\omega )$，不难得到其单位脉冲响应$x(t)$（式（3）左），其中$a_0=\theta$。滤波$U_{\theta }(\omega )/(2\theta \pi )$每个周期的积分恒为$1$，当$\theta \to 0$时即为单位冲激串，左边恒有极限$1/(2\pi )$，与定值的FT一致。然后利用对偶性，也能得到周期方波的FS（式（3）右），以及单位冲激串的FS恒为$1/T$。最后还有离散方波的FT，以及周期离散方波的FS（式（4）），这里暂不考虑FS上的滤波。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\displaystyle \frac{\sin (n\theta \pi )}{n\pi }}\stackrel{F}{\leftrightarrow }{U}_{\theta }(\omega );U_{\theta }(t)\stackrel{FS}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{\sin (k\theta \pi )}{k\pi }}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& U_{n_0}(n)\stackrel{F}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{\sin [\omega (n_0+1/2)]}{\sin (\omega /2)}};U_{\theta }[n]\stackrel{FS}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{\sin (k\theta \pi )}{N\sin (k\pi /N)}}\end{array}$$

　　一个滤波器不光要考虑频域的效果，还要顾及时域带来的特性，一般用单位阶跃响应考察滤波器的时域特征。它逐步收敛于单位冲激响应的极限值，收敛过程中，有几个参数比较影响系统的好坏。首先上升到稳态的时间，表示系统响应的快慢（或当前信号对后续输出的影响大小），一般越快越好。然后还有进入稳态前的超量（超出稳定值）、以及进入稳态时的震荡，它们都影响了系统的稳定速度，可能降低系统实时性。

　　式（2）左的理想滤波不光有超量和震荡，现实中还很难实现（不是有理系统），另外还需要整个输入信号才行（非因果系统），实际上很少使用。非理想滤波在通带和阻带之间没有明显的界限，而是有一定长度的过渡带，并且通带/阻带上都可能有一些起伏，以此可以换来时域更好的特性。一般越小的过渡带、越小的起伏，会带来更大的超量和震荡、以及更长的上升时间，使用中需要注意平衡。更多具体的滤波要到后续课程中讨论了。

2. 采样定理

2.1 采样与插值

　　离散时间信号更方便处理，经常要把连续信号$x(t)$采样成离散序列$x[nT]$，为此需要从理论上分析这两种信号的关系。首先自然地想把采样表示成$x(t)s(t)$，其中$s(t)$仅在$t=nT$处有非零值$1$，但由于$s(t)$没有正常的分析性质（微积分），频域分析无法进行。为此可以把$s(t)$换成单位冲激串函数$p(t)$（式（5）左），上一节已经知道它的FS频谱是$1/T$，故它的FT频谱系数是式（5）右（${\omega }_s=2\pi /T$）。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& p(t)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\delta (t-kT)\stackrel{F}{\leftrightarrow }P(j\omega )={\omega }_s\sum _{k\in \mathbb{Z}}\delta (\omega -k{\omega }_s)\end{array}$$

　　记采样信号为$x_p(t)=x(t)p(t)$，根据乘法性质知其频谱系数为$X_p(j\omega )={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}X(j\omega )\ast P(j\omega )$。式（5）带入便知，$X_p(j\omega )$是多个$X(j\omega )\ast \delta (\omega -k{\omega }_s)/T$的累加，而后者是$X(j\omega )/T$平移$k{\omega }_s$得到，故$X_p(\omega )$就是$X(j\omega )/T$以${\omega }_s$为周期的叠加。如果$x(t)$的带宽满足${\omega }_c<{\omega }_s$，它们在$X_p(j\omega )$中的叠加不会出现混叠，可以用低通滤波完整截取出来。也就是说从$x_p(t)$中可以完全恢复出$x(t)$，这个结论称为采样定理。

　　采样定理是个理想化的模型，首先冲激串函数根本无法生成，其次理想滤波器也很难实现，但它从理论上说明了，足够密度的采样是可以保存特定信号的所有信息的。需要说明的是，带限信号往往表现出一定平滑性，但反过来平滑信号却不一定是、甚至很少是带限的（平滑不是来自低频正弦函数）。但这并不妨碍采样定理的实用性，一般信号的高频部分都足够小，高密度的采样可以获得信号的大部分信息，足以近似恢复出原信号。当${\omega }_c>{\omega }_s$时，信号恢复会出现不可预知的结果，比如对信号$\cos {\omega }_{0}t$低速度采样时，恢复信号的频率总会下降到$|{\omega }_s-k{\omega }_0|$（自行证明），这个可以解释视频中风扇倒转的现象。

　　现在就来讨论从采样函数$x_p(t)$恢复出$x(t)$的一般性方法，这里$x_p(t)$是个数学工具，它代表了采样信息$x[nT]$。记恢复系统的单位冲激响应为$h(t)$，则恢复信号$x_r(t)$为式（6）。不难看出，满足$h(0)=1,h(nT)=0,(n\ne 0)$的系统都能准确恢复出采样值$x[nT]$，这时的$x_r(t)$就好像$x[nT]$的内插函数。采样定理中的低通方波就满足插值条件，其它恢复信号的插值法也要满足插值条件，而且在频谱上都是低通方波的一种近似，即便只是粗略的近似。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& x_r(t)=x_p(t)\ast h(t)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}x(nT)h(t-nT)\end{array}$$

　　把式（6）看成$x(nT)$影响的叠加，选择适当的$h(t)$便可以构造不同的恢复系统。比如记$h_0(t)$仅在$[0,T)$上有非零值$1$，这时$x_r(t)$在$[nT,(n+1)T)$上的值都是$x(nT)$，这样的阶梯函数叫采样的零阶保持。为了让恢复信号连续，最简单的就是线性插值（相邻两点直线相连，也叫一阶保持），不难得知$h(t)$是一个$(-T,T)$上面的三角形函数。类似地可以有更平滑的高阶保持，那里$h(t)$要更平滑，每个点的影响范围也更大。

2.2 数模转换

　　连续信号（也叫模拟信号（analog））离散化的优点并不仅限于存储和传输，数字（digital）信号的在处理上有更多有效便捷的方法。所以经常会把模拟信号先做个模-数转换（A/D），通过数字信号处理（DSP）后，再进行数-模转换（D/A）输出模拟信号。在这个过程中，要想使用统一的FT理论就非常困难了，而不得不直接寻找连续FT和离散FT之间的关系，也即冲激采样$x_p(t)$能否由脉冲采样$x_d[n]=x[nT]$替代。

　　把$x_p(t)$看成冲激串的叠加，并根据$\delta (t-nT)$的（连续FT）频谱，可得到$x_p(t)$的频谱为式（7）左。然后直接用离散FT的公式，可得到$x_d[n]$的频谱为式（7）右，这里的$X_d(e^{j\omega })$已经展开为周期函数。这两个频谱系数虽然来自不同的变换，但却有式（8）左的联系，$X_d(e^{j\omega })$是$X_p(j\omega )$在横轴拉升$T$倍，使周期成为$2\pi$。这个结论不仅说明了$x_p(t)$和$x_d[n]$在信息量上的等价性，还是连续频谱和离散频谱之间的桥梁。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& X_p(j\omega )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}x(nT)e^{-j\omega nT};X_d(j\omega )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}x(nT)e^{-j\omega n}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& X_p(j\omega /T)=X_d(e^{j\omega });H(j\omega )=H_d(e^{j\omega T}),(|\omega |<{\omega }_p/2)\end{array}$$

　　假设$x_d[n]$经过系统$H_d(e^{j\omega })$后变成$y_d[n]$，再把它冲激采样化为$y_p(t)$，不难求得最后的频谱是$Y_p(j\omega )=X_p(j\omega )H_d(e^{j\omega T})$，这就好比$x_p(t)$通过了连续系统$H_d(e^{j\omega T})$。如果回到连续函数，相当于$x(t)$经过连续系统$H(j\omega )$（式（8）右）后变成了$y(t)$，这就说明了数字信号处理对连续系统的影响。当然还要强调一下，要想$H(j\omega )$等价于原离散系统，还要求$x(t)$是带限的（否则只是近似系统）。更进一步讲，带限连续信号脉冲采样并通过离散LIT系统后，就相当于通过了一个连续LIT系统。

　　这个结论其实更适合反过来用，由于连续信号有更好的分析性质，那些在离散信号上“无意义”的概念（比如微分），可以先在连续信号上设计系统，再通过式（8）得到对应的离散系统。比如连续信号的微分器是$H(j\omega )=j\omega$，那么其采样信号的微分器$H_d(e^{j\omega })$就是$j\omega /T$在$|\omega |<\pi$上的周期拓展。再比如时移系统的微分器是$e^{-j\omega t_0}$，其采样信号的微分器就是$e^{-j\omega t_0/T}$在$|\omega |<\pi$上的周期拓展。它们的单位脉冲响应可以用逆变换计算，也可以通过特殊信号的响应直接求得。函数$\text{sinc}(\pi t)$在整数点上的采样就是单位脉冲（注意此时$T=1$），且带宽$2\pi ={\omega }_s$刚好没有混叠，对它做变换（比如微分、时移）再在整数点采样，即可得到离散系统的单位脉冲响应。

2.3 抽取和内插

　　对于高频采样的信号，实际使用时往往不需要这么高的精度，或者数据量相对信息量是有冗余的，这时就需要考虑离散信号的抽取（减采样）。记脉冲串$p[n]$仅在$n=kN$时有非零值$1$，易知它的频谱系数为式（9），其中${\omega }_s=2\pi /N$。同样用周期卷积分析$x_p[n]=x[n]p[n]$的频谱，它是$X(e^{j\omega })/N$以${\omega }_s$为周期的叠加，$2\pi$内共有$N$个。当$x[n]$的带宽满足${\omega }_c<{\omega }_s$时，从$x_p[n]$可以完全恢复出$x[n]$。以及把抽取值重组为信号$x_b[n]=x_p[nN]$，根据缩放性质可有关系式$X_b(e^{j\omega })=X_p(e^{j\omega /N})$，两者在信息量上是等价的。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& p[n]=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\delta [n-kN]\stackrel{F}{\leftrightarrow }P(e^{j\omega })={\omega }_s\sum _{k\in \mathbb{Z}}\delta (\omega -k{\omega }_s)\end{array}$$

　　对比$x[n]$和$x_b[n]$的频谱，后者相当于前者在每个$2\pi$内拉伸$N$倍（同时幅值降低到$1/N$）。以上过程的逆过程，即先拉升补零再方波截取，可以看成是把$x_b[n]$内插（增采样）成$x[n]$，同时频谱收缩$N$倍。我们希望减采样的频谱能正好填满周期$2\pi$，以充分利用频谱而降低采样数据量，这个过程往往需要先增采样，以使$2\pi /{\omega }_c$尽量接近整数。另外，缩放的过程也许可以更直观地解释式（5）和（9），$x_b[n]$完整拥有$x[n]$的频谱，$x_p[n]$本质上是个延展函数，延展过程中其它周期的频谱都被压缩至$2\pi$内。式（5）则可以解释成，无穷处的频谱被压缩至实轴内了。

3. 通信系统

3.1 基本概念

　　现代通讯是以电磁波为信息载体的，在空气中波长越长（频率越低），无线电波的传播距离越远（速度同光速）；而高频部分带宽更宽，可以容纳更多的信息。在工业上，长波（0~300kHz）可传播国际广播，中波（300k~3MHz）多用于AM，短波（3m~300MHz）多用于高保真传输（比如FM广播、手机通讯、Wifi等）。各种不同的信号想要通过电磁波传输，就必须把信息“嵌入”到一个高频信号中，前者称为调制信号、后者称为载波信号，嵌入和解析信号的方法分别叫调制和解调。

　　载波信号多为正弦波，根据载波被修改的内容，调制方法和大致分为幅度调制（AM）和频率调制（FM）。频率调制直接修改载波的频率${\omega }_c$（式（10）），由于FM使用的高频，局部的频率${\omega }_c+kx(t)$近乎不变，可由此解调出$x(t)$。频率几乎不会衰减，因此FM可以高保真传输信息，缺点则是需要占用较大的带宽。幸好高频的带宽足够宽，甚至可以划分为多个频段，以供多路FM信号传输，这个方法就叫频分多路复用（FDM）。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& A\cos \theta (t),{\displaystyle \frac{\text{d}\theta (t)}{\text{d}t}}={\omega }_c+kx(t)\end{array}$$

　　幅度调制直接把调制波乘上载波，周期载波的频谱是可数个冲激串，根据乘法性质可知，调制后的频谱是原频谱的平移叠加，可使用带通滤波解调出来。一类常用的AM载波是周期方波，方波无需持续很久、而只要频率够高，即可传输近似的信号。效果相当于是高频、有短暂持续的采样，也被叫做脉冲幅度调制（PAM）。另外可想而知，一个采样周期内可以有多路信号并存，这个方法就叫时分多路复用（TDM）。

　　值得注意的是，PAM所使用的方波载波，其频谱是无限的，在传输中必定会失真。而失真的信号在TDM中会造成码间干扰，导致所有信号都变形。为此PAM的载波要选择特殊的周期脉冲，它是带限的、并在其它通道时间上还是过零的。为讨论方便，把PAM的时隙设为$1$，脉冲$p(t)$要在$k\ne 0$上过零，即频谱$P(j\omega )$有界且$P(j\omega )e^{-jk\omega }$的积分为零。假定脉冲对称、并利用三角函数的性质，可以构造如式（11）的频谱函数，其中最有代表性的是方波$U_{\pi }(\omega )$，它的脉冲函数是$\text{sinc}\pi t$。当然如果把脉冲数据都数字化（二进制），也就没有码间干扰的问题了，它被称为脉冲编码调制（PCM）。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& P(j\omega )=P(-j\omega );P(j\omega )+P(j(2\pi -\omega ))=1,(0⩽\omega ⩽\pi )\end{array}$$

3.2 正弦幅度调制

　　幅度调制更常用的载波还是正弦函数，它更易于产生，也有更好的分析性质和频谱系数。AM的主要目的是要把信号嵌入到某个传输频段，比较自然地可以想到频域的平移性质，即如式（12）用复载波$e^{j{\omega }_{c}t}$将$X(j\omega )$整体右移${\omega }_c$。在接收端，只需用复载波$e^{-j{\omega }_{c}t}$即可解调出$x(t)$，复载波可以用两路信号$x(t)\cos {\omega }_{c}t$和$x(t)\sin {\omega }_{c}t$来表示。如果只想使用单通道也是可以的，式（13）表明载波$\cos {\omega }_{c}t$将$X(j\omega )$产生了两份叠加。接收端如果还用$\cos {\omega }_{c}t$解调，便可以得到右图中的三份频谱，使用低通滤波器即可保留单个$x(t)$的频谱。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& x(t)e^{j{\omega }_{c}t}\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(j(\omega -{\omega }_c))\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(13)}& x(t)\cos {\omega }_{c}t\stackrel{F}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{2}}[X(j(\omega -{\omega }_c))+X(j(\omega +{\omega }_c))]\end{array}$$

　　在实现中还有一个棘手的问题需要解决，即调制载波和解调载波（不论是单双通道）需要是同相的，这称为同步解调，需要较高的成本。而现实中两者往往有相位差$\varphi (t)$，并且随时间不稳定地变化。如果使用的是复载波，解调出来的信号其实是$x(t)e^{j\varphi }$，在$x(t)$恒为正的情况下，取其范数即可得到$x(t)$。为了让调制波恒为正，有时需要将波幅同步提升，这将带来额外的功率消耗。如果使用的是正弦载波，解调的信号将是$x(t)\cos \varphi t$，好像无计可施了。其实如果$x(t)$恒为正、且${\omega }_c$足够大，$x(t)\cos {\omega }_{c}t$的所有波峰就好像是对$x(t)$的采样（使用包络检测器），从它们也可以恢复出$x(t)$的近似值。

　　正弦载波调制占用了$x(t)$两倍量的带宽，这对有限的带宽是一种浪费，它称为双边带调制（DSB）。$x(t)$的频谱按$\omega$的正负分为两个边带，调制后靠近原点的两个分支叫下边带（否则叫上边带），仅保留上/下边带的调制称为单边带调制（SSB）。SSB需要用理想带通滤波实现，我们知道这个难以实现。其实利用两个频谱分支的平移对称性、以及三角函数的对称性，可以设计出式（14）的调制系统（90度相移网络），请自行证明它仅保留了上边带（以及设计保留下边带的系统）。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& x(t)\cos {\omega }_{c}t+x_h(t)\sin {\omega }_{c}t,x_h(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }jX(j\omega )\cdot \text{sign}\omega \end{array}$$

　　离散信号的幅度调制非常类似，可以用复载波$e^{j{\omega }_{c}n}$将频谱移向高频，然后用$e^{-j{\omega }_{c}n}$解调。如果用正弦函数调制，也会产生正负两个频谱分支，这时需要防止不同周期上频谱的混叠。记信号带宽为${\omega }_m$，首先要让两个分支分开，即要${\omega }_c>{\omega }_m/2$；然后周期间也不能混叠，即要${\omega }_c+{\omega }_m/2<\pi$。综合便要求式（15）成立，这就要求${\omega }_m$越小越好。其实在之前的采样理论中我们知道，只要对信号增采样，即可压缩信号的频谱。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\omega }_m<2{\omega }_c<2\pi -{\omega }_m\end{array}$$