【信号与系统】03 - 系统函数的性质

合集 - 信号处理(6)

1.【信号与系统】01 - 线性时不变系统2020-02-072.【信号与系统】02 - 傅里叶变换2020-02-08

3.【信号与系统】03 - 系统函数的性质2020-02-08

4.【信号与系统】04 - 离散时间信号2020-02-085.【信号与系统】05 - 滤波、采样和通信2020-02-096.【信号与系统】06 - 有理系统2020-02-18

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1. 系统函数的性质

1.1 变换的对偶性

　　不管是傅里叶变换的频域还是拉普拉斯变换的$s$域（下面统称$s$域），都是深入讨论LIT系统的有力工具，有时甚至是必备工具。$s$域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是一对共生体，它们通过拉普拉斯变换生成彼此，同时也是连接两个域的纽带。对一个函数解析式，经常要对它做一些常规的分析操作，比如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。一个很自然的问题是，在某个域的分析操作会对另一个域带来什么影响呢？本篇就来讨论这个问题。

　　在正式讨论之前，有必要再回顾一下拉普拉斯变换的公式。你可能一开始就注意到，正反变换存在一定的“对称性”，而仅在局部有微小差别。在数学上，两个概念如果通过类似的方法互相定义，它们就称为对偶的，从形式上不难看出，互为对偶的概念的性质也是对偶存在的，这就省去了相似论证的麻烦。信号$x(t)$和拉普拉斯变换$H(s)$之间不具有严格的对偶性，但这样的相似性仍然可以被使用。如果记$\chi (\omega )={\displaystyle \frac{e^{\sigma }}{\sqrt{2\pi }}}X(\sigma +j\omega )$，将得到更为对称的式（1），把这个关系记作变换$T$，显然有式（2）成立。以后变换的性质如果本身不是对称的，可以运用该式迅速得到另一个对称的性质，当然简单的性质直接证明会更快。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x(t)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (\omega )e^{j\omega t}\text{d}\omega ;\chi (\omega )={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)e^{-j\omega t}\text{d}t\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& x(t)\stackrel{T}{\leftrightarrow }\chi (\omega )\iff \chi (t)\stackrel{T}{\leftrightarrow }x(-\omega )\end{array}$$

1.2 拉普拉斯变换的性质

 　　以下按函数运算的复杂程度，罗列LT的基本性质，过于直白的结论不加证明。需要注意的是，性质成立有它自己的ROC，并不完全受限于原LT的ROC。还有我们知道，ROC和积分在具体的$s$上的收敛性是不同的，以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成立的。

　　首先是函数的线性运算，在$s$域也是线性的（式（3））。然后看函数的平移，容易有式（4）左成立，在$s$域的平移还有式（4）右成立，这是一组对偶性质。当对函数进行伸缩时，频谱系数也跟着反比例伸缩（式（5）左）；特别地，$a=-1$时表示函数左右翻转（旋转180度），$s$域则也跟着旋转180度（式（5）右）。需要说明的是，LT是定义在实变量的复函数上的，故$x(t)$也可以是复值函数。对LT右式两边取共轭（用$x^{\ast }$表示），再将$s$换成$s^{\ast }$，即得到$x^{\ast }(t)$的FT（式（6）左）；对于实信号有$x^{\ast }(t)=x(t)$，从而有式（6）右的频谱关系。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& ax(t)+by(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }aX(s)+bY(s)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x(t-t_0)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{e}^{-s{t}_0}X(s);e^{s_{0}t}x(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }X(s-s_0)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& x(at)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{|a|}}X({\displaystyle \frac{s}{a}});x(-t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }X(-s)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& x^{\ast }(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{X}^{\ast }(s^{\ast });X(s)=X^{\ast }(s^{\ast })\end{array}$$

　　本段来讨论LT在微积分下的性质，论证中会用到微分、积分顺序的交换，这可以由函数的一致收敛性得到（见微积分）。首先对LT逆变换式的两边分别取微分，可得式（7），它就是$x^{\prime }(t)$的拉普拉斯展开，所以频谱函数就是$sX(s)$（式（8）左）。同样的方法，也可以得到$s$域微分的性质（式（8）右）。逆向使用微分性质，便能得到时域积分的LT公式（9），当$s=0$时性质不成立，但不影响公式在其它$s=j\omega$上成立。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& x^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(s)s{e}^{st}\text{d}\omega \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\displaystyle \frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}}\stackrel{L}{\leftrightarrow }sX(s);-tx(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{\text{d}X(s)}{\text{d}s}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\tau )\text{d}\tau +C\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{X(s)}{s}}\end{array}$$

　　在微积分中我们知道，任何非奇异函数与三角函数$\cos \omega t$的积分，在$\omega \to \mathrm{\infty }$时总是趋于$0$的。从而在拉普拉斯变换中，当$s\to \mathrm{\infty }$时（延虚轴方向）一定有$X(s)\to 0$。当$x(t)$含有奇异值时，这个性质不再成立，比如容易算得$\delta (t)$的LT是$1$。如果$x(t)$的（高阶）微分仍不是奇异函数，利用公式（8）可以继续得到当$s\to \mathrm{\infty }$时$s^{k}X(s)\to 0$。$x^{\prime }(t)$出现奇异值（比如仅在$t=0$处）的常见原因是，$x(t)$出现了值跳变$\mathrm{\Delta }=x(0^{+})-x(0^{-})$。这时可以把$x(t)$拆成$\mathrm{\Delta }u(t)+g(t)$，则$g(t),g^{\prime }(t)$都是非奇异的，对等式两边做拉普拉斯变换并整理得式（10）（$u(t)$的LT为$1/s$）。当$s\to \mathrm{\infty }$时（延虚轴方向）$sG(s)\to 0$，所以有式（11）左成立；当$s\to 0$时回到$g^{\prime }(t)$的LT公式，可算得$sG(s)\to g(+\mathrm{\infty })-g(-\mathrm{\infty })$，加上$\mathrm{\Delta }$便有式（11）右成立。课本上还假定$x(t)$在$t<0$时为$0$，即可以有$x(-\mathrm{\infty })=x(0^{-})=0$，这时的结论会更简洁一点，分别叫初值定理和终值定理。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& x(t)=\mathrm{\Delta }u(t)+g(t)\Rightarrow sX(s)=\mathrm{\Delta }+sG(s)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sX(s)=x(0^{+})-x(0^{-});\underset{s\to 0}{lim}sX(s)=x(+\mathrm{\infty })-x(-\mathrm{\infty })\end{array}$$

　　最后来看卷积$x(t)\ast y(t)$的拉普拉斯变换，它在LIT中可以阐述为：信号$x(t)$在单位冲激响应为$y(t)$的系统下的输出。$X(s)$是$x(t)$在基波$e^{st}$下的密度系数（先忽略统一系数${\displaystyle \frac{1}{2\pi }}$）,$Y(s)$是基波$e^{st}$在系统下的响应系数，这样分支$X(s)e^{st}$的系统响应就是$X(s)Y(s)e^{st}$，所以总响应函数的密度系数就是$X(s)Y(s)$。式（12）总结了这个重要的卷积性质，当然通过积分交换直接证明才是最严格的，请自行完成。卷积性质揭示了拉普拉斯分解对LIT系统的意义，时域的卷积在$s$域只是简单的乘法。其实这个结果也没什么好意外的，从讨论特征函数起，我们就在朝这个方向行进。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& x(t)\ast y(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }X(s)Y(s)\end{array}$$

1.3 傅里叶变换的性质

　　傅里叶变换是拉普拉斯变换取$s=j\omega$的特殊情况，故以上性质对FT也是成立的，请回顾以上性质并用$j\omega$带入。做为特殊情况，傅里叶变换也必有自己独有的性质，这里专门进行阐述。比较有代表性的是式（13）的帕斯瓦尔定理（Parseval），你可以使用$|x(t){|}^2=x(t)x^{\ast }(t)$自行验证，这里从另一个角度阐述。信号是一种能量，$|x(t)|$蕴含着能量的大小，式（13）左即是信号能量的度量公式（平方不仅计算方便、也更符合现实意义）。另外不难证明，基波$a{e}^{j\omega t}$的能量是$|a{|}^2$，且不同频率基波的能量是互相独立的。这就是定理的直观解释，频谱系数$X(j\omega )$也被叫做能量谱。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x(t){|}^2\text{d}t={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|X(j\omega ){|}^2\text{d}\omega \end{array}$$

　　式（5）左信号的伸缩，会带来频谱系数反向的伸缩，系数$1/|a|$保证了能量守恒。信号的时移（式（4）左）在频谱上只是乘上了函数$e^{-j\omega t_0}$，它的意义是在对相位调制${\omega }_0{t}_0$而范数不变，这符合直观感觉。信号翻转时正好也带来频域的翻转（式（5）右），一对正负频率其实就是相反方向的。对实函数的性质式（6），偶函数还满足$x(t)=x(-t)$，从而有$X(-j\omega )=X^{\ast }(-j\omega )$，即$X(j\omega )$为实值函数；同样可知实奇函数的$X(j\omega )$为纯虚值函数。

　　上面提到过，式（9）在$s=0$处不收敛，而在其它$s=j\omega$处仍然成立（如果$x(t)$的FT收敛），现在需要专门计算$h(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\tau )\text{d}\tau$在基波$e^0=1$上的频谱。如果$h(+\mathrm{\infty })=X(0)$存在，$h(t)$的平均值是$X(0)/2$（不严谨），所以它对$1$的频谱就是$X(0)\delta (t)/2$。综合便有$h(t)$的频谱系数（式（14）），注意左部分要把$\omega =0$去掉。另外，卷积性质（10）不具有对称性，利用对偶式（2）可以推出式（15）的乘法性质，它是“幅度调制”理论的基础。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\tau )\text{d}\tau \stackrel{F}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{X(j\omega )}{j\omega }}+\pi X(0)\delta (\omega )\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& x(t)y(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{2\pi }}X(j\omega )\ast Y(j\omega )\end{array}$$

　　傅里叶级数可以纳入傅里叶变换的公式，以上性质基本也适用于FS，只需把$\omega$换成$k{\omega }_0$、并注意频谱系数的意义差别。但有两个性质需要单独论证，请自行证明。一个是帕斯瓦尔定理，式（16）将能量定义在一个周期上；另一个是周期卷积性质（式（17）），周期函数的卷积只计算一个周期的积分。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\int }_T|x(t){|}^2\text{d}t=T\sum _{k\in \mathbb{N}}|a_k{|}^2\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& x(t)\ast y(t)\stackrel{FS}{\leftrightarrow }T{a}_k{b}_k\end{array}$$

2. 常见系统函数

　　这里列举一些基础的系统函数，说它们基础是指，它们简单但能构建起更复杂的系统，或者通过变换性质将一个系统快速地生成为另一系统。先来看最简单的$\delta (t)$，直接带入变换式便有式（18）左。它的直观意义很明显，将所有基波零相移地叠加，在$t=0$处会产生单位冲击，而其它位置为0。回到分解式可以有${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}1\text{d}\omega =2\pi \delta (0)$，这个反直观的结论在奇异函数的世界里就是成立的，直接使用它能让前面困难的推导顺畅起来。继续对$\delta (t)$微分便有式（18）右，这样$s$的多项式的逆变换就都有了。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \delta (t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }1;u_n(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{s}^n\end{array}$$

　　阶跃函数$u(t)$的微分是$\delta (t)$，根据积分性质可知频谱系数为${\displaystyle \frac{1}{s}}$，当然也可以直接计算并得到ROC是$\sigma >0$（式（19）左）。$u(t)-1=-u(-t)$的微分还是$\delta (t)$，它的LT也有非空的ROC（式（19）右）。式（19）提醒我们，变换式不能唯一确定逆变换，还需要加入ROC的因素。另外，有了简单分式${\displaystyle \frac{1}{s}}$，利用$s$域的平移性质和积分性质，可以得到式（20）的变换（$a$为复数）。组合两者就能得到${\displaystyle \frac{1}{(s-a{)}^n}}$的逆变换，当然把$u(t)$换成$-u(-t)$都还有一个解，且ROC为$\sigma <0$。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& u(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{s}},(\sigma >0);-u(-t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{s}},(\sigma <0)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& e^{at}u(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{s-a}};u_{-n}(t)={\displaystyle \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}}u(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{s^n}}\end{array}$$

　　复数域内的任何分式都可以分解为多项式和一些简单分式${\displaystyle \frac{1}{(s-a{)}^n}}$的和，故任何分式系统函数的逆变换都能给出。如果限定在实数域，分式还可能分解出二次项因子${\displaystyle \frac{cs+d}{(s^2-2as+b{)}^n}}$，其中二次项可写成$(s-a{)}^2+{\omega }^2$。二次项的两个根为$a\pm j\omega$，可以先在复数域求一次项的逆变换（先设$a=0$），再把共轭的一次项合并便能得到式（21）。结合$s$域平移和卷积便能得到一般二次项因子的逆变换，还要注意使用$-u(-t)$的另一个解，至此实数域分式的逆变换也解决了。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \cos \omega t\cdot u(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{s}{s^2+{\omega }^2}};\sin \omega t\cdot u(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{1}{s^2+{\omega }^2}}\end{array}$$