【信号与系统】02 - 傅里叶变换

合集 - 信号处理(6)

1.【信号与系统】01 - 线性时不变系统2020-02-07

2.【信号与系统】02 - 傅里叶变换2020-02-08

3.【信号与系统】03 - 系统函数的性质2020-02-084.【信号与系统】04 - 离散时间信号2020-02-085.【信号与系统】05 - 滤波、采样和通信2020-02-096.【信号与系统】06 - 有理系统2020-02-18

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1. 傅里叶级数

1.1 特征函数

　　上篇我们已经知道，LIT系统可以由单位冲激响应$h(t)$完全表征，且$x(t)$在系统的输出函数是$x(t)\ast h(t)$。这个结论是分析LIT系统的基础理论，甚至我们可以认为，LIT系统至此已经被完全解析了。但不要忘记，解析信号系统的目的，最终是为了分析信号或系统的特性、设计特定系统以处理信号。所以下一步就是要建立分析信号或系统的方法，并搞清系统对信号产生的根本性影响。单位冲激响应$h(t)$可视为系统的“固有信号”，所以接下来“信号”就是我们要面对的关键对象。

　　信号千变万化，一套完备的“特征”，一般要求它们互相独立、又能完整地表征对象。对待实变量函数，一种典型的思路是建立完备的“特征函数系”，特征函数之间有一定独立性，而任何函数可以被“特征系数”唯一表征。另外LIT是一个线性系统，在线性问题中有一个普遍而有效的思路，它非常类似于线性变换的特征向量理论。就独立性而言，我们希望“特征函数”$x(t)$的系统输出有简单的格式$K(x(t))\cdot x(t)$。

　　为了找到特征函数，我们得回到系统的表征函数$\int h(\tau )x(t-\tau )\text{d}\tau$中去。由其形式特点并联想到指数函数的特性，不难发现指数函数$e^{st}$满足式（1），以后我们把这样的函数称为LIT系统的特征函数。其中$H(s)$仅由系统和$s$决定，它是$e^{st}$经过系统后的“特征系数”，也被称为系统的特征值。值得提醒的是，$s$是在复数域的。复指数函数的一般形式是$z^t$，但以$e$为低的复数表示更便于指数、导数等运算，故这里用$e^s$表示复数$z$。回顾复数的知识，$s=\sigma +j\omega$，其中$e^{\sigma }⩾0$是$z$的模，$\omega$是$z$的辐角（顺时针为正向）。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& e^{st}\to H(s)e^{st},(s\in \mathbb{C}),H(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-s\tau }\text{d}\tau \end{array}$$

1.2 三角基波

　　特征函数有很多，下面就要挑选合适的做“特征函数系”。当$\sigma \ne 0$时，$e^{st}$的范数$e^{\sigma t}$是无界的，使用起来比较棘手。这里先设$\sigma =0$，纯虚数指数函数（式（2））将构成我们需要的特征函数系（也叫基波）。函数值$e^{j\omega t}$随$t$在单位圆上做圆周运动，$\omega$是运动的角速度（弧度），运动的周期即为$2\pi /|\omega |$。教材里一般把$\omega$称为基波频率，而真实的频率其实是$|\omega |/2\pi$，请注意区分。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& e^{\text{j}\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t,(\omega \in \mathbb{R});T={\displaystyle \frac{2\pi }{|\omega |}}\end{array}$$

　　$e^{j\omega t}$的实部、虚部都是正弦函数（这里不区分正余弦），正弦函数级数的性质已经被深入研究，用它们做基波是很方便的分析工具。傅里叶分析的早期研究对象，就是各种三角级数的收敛性。然而$e^{j\omega t}$才是三角函数更本质的形式，而且使用起来更加方便，所以今后我们都用复指数函数作为基波。复数域比实数域完备，所以复数运算更加方便自由，在纯数学上，不会因为一个概念“不够直观”而忽视它的价值。另外，系统的特征值$H(j\omega )$又被称为频率响应，它由冲激响应$h(t)$所决定，后面将会看到它们的密切关系。

1.3 傅里叶级数

　　由于最早研究的函数分解就是三角函数级数，所以分解的对象也限定在了周期函数上。设函数$x(t)$的周期为$T$，角速度为${\omega }_0$，傅里叶级数将它分解为基波频率为$k{\omega }_0,(k\in \mathbb{Z})$的纯虚指数函数的级数（式（3）左）。为了求得系数$a_k$，可以利用$\{e^{j\omega t}\}$对积分运算的“正交性”，验证可有式（3）右成立。式（3）就是傅里叶级数（FS）的完整表达式了，一般记作$x(t)\stackrel{FS}{\leftrightarrow }{a}_k$，其中$a_k$也称为FS的频谱系数。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& x(t)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t},a_k={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}x(\tau )e^{-jk{\omega }_0\tau }\text{d}\tau \end{array}$$

　　当然式（3）不是对所有周期函数都成立，狄利克雷条件给出了存在傅里叶级数的充分条件：（1）$x(t)$绝对可积；（2）周期内只有有限个起伏；（3）周期内只有有限个不连续点。这个条件包含了非常大范围的函数，因此它有着很广泛的实用价值。值得提醒的是，在不连续点$t_0$处，傅里叶级数收敛于$[x(t_0^{-})+x(t_0^{+})]/2$，但在个别点的误差并不影响FS成为有力的分析工具。从表达式还能知道，相近的两个函数的频谱系数也是相近的，所以频谱系数具有一定“稳定性”。分解级数和积分式不一定存在，但如果一个式子存在，另一个式子也必然是存在的，且都具有唯一性。用带入证明会遇到根本性的困难，我们只能到傅里叶分析里找答案。

　　第一次面对FS的结论时，我们不禁想问：这个分解为什么会成立？它有没有更直观的解释？我想这样阐述（瞎说）FS的本质：函数就是一个随时间不断变化的量，这个“变化”可以从宏观到微观去依次去量化。就拿三角级数（4）来说，常数项$a_0$度量了$x(t)$相对0值的平均变化，去除$a_0$后$a_1$继续度量每半边的平均变化（左右相等但符号相反，使用三角函数可统一系数），然后再继续度量半边的两个半边，以此类推。显然中心对称的函数都可以做基波，但唯有三角函数简单且有很好的分析性质。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x(t)=a_0+a_1\sin {\omega }_{0}t+a_2\sin 2{\omega }_{0}t\end{array}$$

2. 傅里叶变换

2.1 傅里叶变换

　　傅里叶级数有着明显的局限性，最显然的就是它只适用于周期函数，而且如果把频谱系数作为函数的唯一表征，还必须限定在某个周期下。另一个缺陷不太明显但很重要，就是FS的频谱是不连续的，这限制了处理信号的范围。为了得到一般函数$x(t)$的频谱，先以$t=0$为中心截取长度为$T$的片段，然后展开成周期函数$\tilde{x}(t)$。对它做FS可以得到式（5），其中$\{T{a}_k\}$是函数$X(j\omega )$上的等间隔点。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& T{a}_k=X(jk{\omega }_0),X(j\omega )={\int }_{T}x(t)e^{-j\omega t}\text{d}t\end{array}$$

　　随着$T$逐渐增大直至无穷，$\tilde{x}(t)$变成$x(t)$，$\{T{a}_k\}$也越发密集直至完全变成函数$X(j\omega )$（这当然不是严格的数学证明，但也不失为一个好的直观阐述）。从离散到连续的变化中，${\omega }_0$变成微分$\text{d}\omega$，$a_k$则变成了${\displaystyle \frac{1}{2\pi }}X(j\omega )\text{d}\omega$（因为$T=2\pi /\omega$）。最终（连加变成积分）$\tilde{x}(t)$的FS也变成了$x(t)$的傅里叶变换（FT，式（6）），一般记作$x(t)\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(j\omega )$，其中$X(j\omega )$还是称为频谱系数。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& x(t)={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(j\omega )e^{j\omega t}\text{d}\omega ;X(j\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)e^{-j\omega t}\text{d}t\end{array}$$

　　傅里叶变换也有对应的狄利克雷条件，只需把FS中的“周期内”改成“有限区间内”即可（以下把左式叫分解式、右式叫变换式）。狄利克雷条件是FT积分（处处）收敛的的充分非必要条件，在该条件下的分解式、变换式都是非奇异的。但在奇异函数的概念下，这些积分可以在更大的范围内“存在”，比如$\delta (t)$的FT是$1$，但分解式显然不收敛。所以这里要强调，傅里叶变换的存在性是比收敛性更宽泛的概念，数学上已经证明：分解式、变换式是同时存在的，且互相具有唯一性。

　　公式（6）说明了，函数和频谱系数是互相确定的，$\{e^{j\omega t}\}$是一个完备的特征函数系。频谱系数可以完全表征一个函数，它一般被称为函数的频域特征，相对而言函数自身则是时域特征。时域、频域是分析信号或系统的两个角度，它们在不同的场景下有各自的长处。对于系统的冲激函数$h(t)$，从式(1)可知，频率响应函数$H(j\omega )$就是$h(t)$的傅里叶变换。也就是说，$h(t),H(j\omega )$分别是系统的时域、频域表征（后者也被称为系统函数），两者对系统分析都至关重要。

　　狄利克雷条件是FT收敛的充分而非必要条件，鉴于FS和FT的关系，下面来讨论怎样把FS纳入FT中去。其实FT的频谱系数$X(j\omega )$是不同基波的“密度”函数，$e^{j\omega t}$在分解中的“份量”是${\displaystyle \frac{1}{2\pi }}X(j\omega )\text{d}\omega$。反观FS的频谱系数$a_k$，$e^{jk{\omega }_0}$提供的“份量”就是$a_k$，它在FT中的“密度”应当是$2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$。综合便有了FS的FT格式（式（7）），它其实就是周期函数的傅里叶变换。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& X(j\omega )=\sum _{k\in \mathbb{Z}}2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)\end{array}$$

2.2 拉普拉斯变换

　　傅里叶变换的收敛性对函数有一定要求，比如函数一定要是有界的，这将限制对很多信号和系统的讨论。尤其在做系统的定性分析时，我们希望面对一个更大的系统空间进行系统设计。另一方面，LIT的特征函数$e^{st}$中的$s$可取遍整个复数域，而FT的基波$e^{j\omega t}$仅仅是$s=\sigma +j\omega$取虚轴而建立的函数系。为了研究用一般的$e^{st}$为基波的分解，可以考虑在FT两边同时乘上函数$e^{\sigma t}$（式（8）），其中$\sigma$是一个定值。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& x(t)e^{\sigma t}={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(j\omega )e^{(\sigma +j\omega )t}\text{d}\omega \end{array}$$

　　式（8）其实就是$x(t)e^{\sigma t}$在函数系$\{e^{(\sigma +j\omega )t}\}$下的分解，由于$\sigma$是一个定值，$s$取在某条跟虚轴平行的直线上。一般地，式（9）被称为拉普拉斯变换（LT），并计作$x(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }X(s)$，它和FT显然有关系式（10）。$H(s)$可以视为函数的$s$域特征，它是对频域的扩充，在系统分析中也将起到更大的作用。还是得强调一下，虽然$X(s)$的定义域可以是整个复数域，但在某个具体的拉普拉斯变换中，$s$仅在一条虚轴平行线上（$\sigma$是定值）。课本中将逆变换写成了复数在曲线上的微分，我觉得对本课程没有意义。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& x(t)={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(s)e^{st}\text{d}\omega ;X(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)e^{-st}\text{d}t\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& x(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow }X(\sigma +j\omega )\iff x(t)e^{-\sigma t}\stackrel{F}{\leftrightarrow }X(j\omega )\end{array}$$

　　对于一个函数$x(t)$和固定的$\sigma$，如果LT对所有的$\omega$都收敛，那么称$x(t)$的LT在$\sigma$处收敛。那些收敛的$\sigma$称为LT的收敛域（ROC），但要注意，收敛域外的某个具体$s$处，LT积分也可能收敛。课本上以$s$定义收敛域，其实并无本质区别，因为LT总是定义在整条虚轴平行线上的。如果$x(t)$有限持续（$|t|>T$后为0），积分总是收敛的，它的ROC是整个复平面。如果$x(t)$左边有限持续（右边信号），考察$x(t)e^{-\sigma t}$的绝对可积性，如果在${\sigma }_0$处绝对可积，则易证在$\sigma >{\sigma }_0$上都可积，从而ROC为右半平面。同样道理，左边信号的ROC就是左半平面。而一般的双边信号，可将其分割为左右两部分，结合刚才的结论可知，ROC是一个带状区域。

　　以上左/右平面、带状区域的边界是否收敛视情况而定，而且边界本身可能是不存在的（无穷大小），以下不再说明。冲激响应$h(t)$的拉普拉斯变换$H(s)$是系统的$s$域特征，它还是被称为系统函数，其ROC与系统性质有着一些关联。比如因果系统的冲击响应是一个右边信号，从而系统函数的ROC必定是右半平面。还有一个稳定系统的冲激响应是绝对可积的，从而它的傅里叶变换收敛，也就是说系统函数的ROC必须包含虚轴。