摘要：【本系列目录】 01 - 几何的公理系统 02 - 顺序公理 03 - 合同公理、平行公理、连续公理 04 - 比例和面积 05 - 笛沙格几何 博客总目录 1. 历史背景 前面我们已经整理了代数和分析的基础知识，其中让我收获最大的，便是利用公理化思想给出模型的基本元素，然后逐步讨论模型中的基本问题 阅读全文

摘要：1. 顺序公理 关联公理仅讨论了对象的连接属性，但这些对象目前仍然是一种无序的状态（集合状态）。为了体现对象的空间性，需要定义一种顺序关系，使得对象更有“方向性”和“位置感”。几何中的“位置”看起来有很多种，比如直线的两个方向、平面的两面、圆形（球形）的内外等，但令人惊讶的是，这些关系居然都可以从直 阅读全文

摘要：1. 合同公理 1.1 线段和角的合同 关联定义了三大主角（点线面）的依附关系，顺序又限定了点在空间的次序（并间接影响线面的空间次序），现在还缺少对空间的度量。所谓度量就是对几何对象建立相等的概念，而相等的另一个等价说法就是教材上的“迁移”，“重合、相等”这样的概念本质上就是对象的动态关系，这样的关 阅读全文

摘要：希尔伯特的五组几何公理，描述了一个与欧几里得空间等价的几何空间，然而这套公理的价值远非如此。它的目的更在于分离出几何空间中最本质的内涵，对其精简分类，以突出每一个内涵的价值。所以到此为止，几何系统的讨论非但没有结束，而是才刚刚开始。在前几篇的定理讨论中，我们明确了这样一个事实：每个定理的成立都有其依 阅读全文

摘要：上一篇讨论的非阿基米德几何，其本质上已经与欧几里得几何没有太大差别，平面几何的大部分结论也都可以得证。本篇我们试图再度简化公理系统，并以此研究特定公理对平面几何性质的影响。试想，如果我们只讨论平面上的点线关系，公理\(I_{1\sim 2},II,IV\)似乎已经足够，因为\(I_{3\sim 6} 阅读全文