合集-高等代数

【线性代数】 01 - 古老的新学科
摘要:【本系列目录】 01 - 古老的新学科 02 - 线性空间 03 - 行列式 04 - 矩阵 05 - 线性变换 06 - Jordan标准型 07 - 线性函数 08 - 线性空间的度量 09 - 正规变换和二次型 博客总目录 线性代数(Linear Algebra)这门学科大家并不陌生,如果有人 阅读全文

posted @ 2015-10-12 12:50 卞爱华 阅读(3311) 评论(1) 推荐(3) 编辑

【线性代数】 02 - 线性空间
摘要:大部分教材一开始便会讨论行列式和矩阵,这当然是从实用的角度编排的。我们这里则更关注学科的完整性和概念的连贯性,从线性代数的基础研究对象讨论起。在抽象代数中我们已经意识到,代数学其实就是一门关系结构学,不同的学科差别只是所研究的具体结构不同而已。 1. 线性空间 1.1 向量和线性空间 线性代数讨论的 阅读全文

posted @ 2015-10-12 18:55 卞爱华 阅读(3796) 评论(0) 推荐(3) 编辑

【线性代数】 03 - 行列式
摘要:1. 行列式的定义 线性方程组中比较常见的是m=n的情况,我们想知道这种方程组什么时候有唯一解?并且如何用系数表示这个唯一解?对于元数较少的方程,可以直接用消元法得到解的具体公式,比如(1)式就是二元方程组的公式解。公式中重复出现了模式abcd,这个模式不仅能判断方程组是否有唯一解 阅读全文

posted @ 2015-10-13 10:08 卞爱华 阅读(3110) 评论(4) 推荐(1) 编辑

【线性代数】 04 - 矩阵
摘要:1. 矩阵和秩 1.1 矩阵的定义 前面我们在不定义的情况下,一直在使用着矩阵,那些场合中矩阵仅仅是一些数的纵横排列,它只有符号的意义,而没有代数的性质。在继续讨论之前,先严格定义一下n×m阶矩阵(matrix):它由nm个环元素排成nm列(式(1)), 阅读全文

posted @ 2015-10-13 16:12 卞爱华 阅读(2694) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【线性代数】 05 - 线性变换
摘要:之前的概念只是线性代数中最基本的工具,而线性代数最核心的内容在这里才刚刚开始。我们知道,代数的对象是结构,而代数的核心则是变换。结构间的变换不光揭露了它们之间的本质关系,它还是了解结构本身深层属性的有力工具。变换本身没有什么,我们更关注的其实是变中的不变,不变量则又是变换的核心。 1. 线性映射 1 阅读全文

posted @ 2015-11-17 23:18 卞爱华 阅读(3262) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【线性代数】 06 - Jordan标准型
摘要:现在就来研究将空间分割为不变子空间的方法,最困难的是我们还不知道从哪里着手。你可能想到从循环子空间出发,一块一块地进行分割,但这个方案的存在性和唯一性都不能解决。不变子空间分割不仅要求每个子空间V是不变的,还隐含要求V之外元素的像不落在V中,这一条就导致从局部开始分割的 阅读全文

posted @ 2015-11-18 11:14 卞爱华 阅读(7363) 评论(3) 推荐(2) 编辑

【线性代数】 07 - 线性函数
摘要:1. 线性函数 1.1 k重线性函数 前面讨论了纯代数意义上的线性空间,在实际场景中,我们经常需要处理向量的度量。度量一般表现为向量的函数,比如行列式可以看成是n个行(列)向量的函数,矩阵之积的每一个元素其实就是一个行向量和一个列向量的函数。严格来讲,对域F上的线性空间\(V 阅读全文

posted @ 2016-01-02 12:23 卞爱华 阅读(3464) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【线性代数】 08 - 线性空间的度量
摘要:1. 内积空间 1.1 欧几里得空间 线性空间在添加了双线性的运算后,向量之间建立了简单的正交、非正交的关系。数域是最常见的域,它天生就带着度量的使命,所以在数域的线性空间中,我们不能回避向量间的度量。所谓度量就是用一个数表示向量之间的关系,并衍生出长度、距离和角度的概念,而在度量上最“完备”的数域 阅读全文

posted @ 2016-01-03 14:15 卞爱华 阅读(3162) 评论(2) 推荐(1) 编辑

【线性代数】 09 - 正规变换和二次型
摘要:1. 正规变换 1.1 伴随变换 在上一篇的最后我们看到,满足一定内积性质的线性变换可以有很好的不变子空间分割,现在对更一般的形式进行讨论。设内积空间中有V=WW,且W是线性变换A的不变子空间,任取\(\alpha\in W, 阅读全文

posted @ 2016-01-05 00:08 卞爱华 阅读(4516) 评论(3) 推荐(1) 编辑

【高等代数】01 - 行列式和矩阵的秩
摘要:【本系列目录】 01 - 行列式和矩阵的秩 02 - 矩阵的逆和相似矩阵 03 - 二次型和矩阵的分解 04 - 多项式环 05 - 线性变换 06 - 线性函数 博客总目录 高等代数究竟应该包含哪些内容?从名字上看它应当包含代数学中的所有高等内容。但一般来讲,这里的“高等”只是相对中学的“初等”而 阅读全文

posted @ 2020-05-07 23:49 卞爱华 阅读(3213) 评论(1) 推荐(1) 编辑

【高等代数】02 - 矩阵的逆和相似矩阵
摘要:矩阵本质的意义在于线性变换,可以说离开线性变换,矩阵是毫无用处的。而线性变换的基本运算就是加法和乘法,其中对矩阵乘法的研究一直是线性代数中的核心内容。其中包括矩阵的幂次方、矩阵的逆、矩阵的分解,而且它们是互相渗透的。虽然说研究矩阵乘法的目的是线性变换,但乘法本身的性质可以脱离线性变换而讨论,我们将再 阅读全文

posted @ 2020-05-07 23:51 卞爱华 阅读(6052) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等代数】03 - 二次型和矩阵的分解
摘要:线性函数也是线性代数的重点知识,尤其是双线性函数,本质上定义了向量之间的二元运算。然后在非退化线性替换下,引出了矩阵的合同关系B=PAP(记作AB),类似于线性变换的标准型讨论,这里同样需要讨论合同关系下的等价类和标准型。对称双线性函数是最常见的向量运算,它的度量矩阵是 阅读全文

posted @ 2020-05-07 23:53 卞爱华 阅读(3647) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等代数】04 - 多项式环
摘要:1. 多项式环 1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念,在分析和代数中都有广泛的应用,线性变换也非常依赖多项式的理论。虽然在不同场景下多项式描述的对象有较大差异,但它们却有着类似的代数结构,这里就从纯代数的角度讨论多项式的结构和性质。以下我会花较多口舌定义什么是多项式,这种看似“学究”的做 阅读全文

posted @ 2020-05-07 23:54 卞爱华 阅读(6900) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【高等代数】05 - 线性变换
摘要:线性变换是线性代数的核心概念,包含的内容和结论十分丰富。之前的讨论其实已经比较完备了,但这里我还是想把它的主要脉络再梳理一遍,然后再补充一些重要的问题和结论。 1. 线性变换和不变子空间 1.1 线性变换 线性变换Aα(或线性映射)的概念自无需多说,它是线性空间 阅读全文

posted @ 2021-02-22 12:33 卞爱华 阅读(2924) 评论(3) 推荐(0) 编辑

【高等代数】06 - 线性函数
摘要:在线性代数中,我们花了3篇讲解(双)线性函数的相关结论。这里我想把核心内容再阐述一遍,在忽略一些细节的同时,希望对整体结构有更深刻的理解。需要注意的是,这里双线性函数只是起点,后面的内积、酉变换、正规变换,都在不断地打破和拓展之前的概念,最终还是为了讨论特殊线性变换的标准型。 1. 双线性函数 1. 阅读全文

posted @ 2021-05-22 11:26 卞爱华 阅读(1489) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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