合集-抽象代数

【抽象代数】 01 - 数学的“倚天剑”
摘要：【本系列目录】 01 - 数学的“倚天剑” 02 - 代数与群 03 - 商群和直积 04 - 类方程和有限群 05 - 环和域 06 - 理想与直和 07 - 因子分解和多项式环 08 - 域的扩张 09 - 伽罗瓦理论 博客总目录 在一般人的印象中，数学就是用来计算的，这种说法笼统讲也没有错，因 阅读全文

posted @ 2015-05-09 12:29 卞爱华 阅读(5615) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【抽象代数】 02 - 代数与群
摘要：1. 代数系统 1.1 运算律 我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。多数场景里，像和原像往往是同一个集合，这里就讨论这样的函数。一元函数f:A↦A也被称为集合A上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合A上的n 阅读全文

posted @ 2015-05-09 18:33 卞爱华 阅读(5979) 评论(3) 推荐(1) 编辑

【抽象代数】 03 - 商群和直积
摘要：1. 陪集 现在继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先根据子群的判定条件，如果H,K⩽G，则很容易有H∩K⩽G。那么H∪K呢?当然这里H,K都是真子群，并且不互相包含。从H中取元素 阅读全文

posted @ 2015-05-10 00:34 卞爱华 阅读(5839) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【抽象代数】 04 - 类方程和有限群
摘要：之前两篇是群的基本概念，我们对群的结构了解得还很少。进一步的研究需要深入其本质，找到群最关键的特点。群的核心其实就是它的变换规律，要想看得更多，就必须回归到变换的特点上来。由此要把群放在更生动的场景下，才能体现其本性。这个思路是群论思想的精髓，后面我们还会回来继续研究，而这里只撷取比较简单的一种手段 阅读全文

posted @ 2015-05-10 08:50 卞爱华 阅读(5164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【抽象代数】 05 - 环和域
摘要：抽象代数不是为了抽象而抽象，它所研究的代数系统都有着广泛的实例原型。群论的学习中我们已经看到很多系统同时存在着两个运算，而且它们是相互关联的，这就迫使我们来研究这种代数系统的结构和特点。从另一方面看，运算之间的互相牵连也会导致单个运算的特殊性质，你将会在后面的讨论中看到这一点。 1. 环 1.1 环 阅读全文

posted @ 2015-09-09 12:17 卞爱华 阅读(9333) 评论(2) 推荐(3) 编辑

【抽象代数】 06 - 理想与直和
摘要：1. 同态与理想 同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用，我们可以对环进行同样的讨论。若环R1到另一个系统R2有映射f:R1↦R2，满足公式（1），这样的映射称为同态映射。若映射为满的，则称R1,R2同态，记作\(R_1\sim 阅读全文

posted @ 2015-09-09 18:20 卞爱华 阅读(8759) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【抽象代数】 07 - 因子分解和多项式环
摘要：1. 因子分解 1.1 唯一分解环 环的直和分解将大环分解为小环，使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发，我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论，还需对环作一些限制。既然我们关注是因子，乘法顺序就显得多余且碍事，所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的 阅读全文

posted @ 2015-09-10 00:25 卞爱华 阅读(5881) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【抽象代数】 08 - 域的扩张
摘要：1. 素域和单扩域 1.1 素域 域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若F是E的子域，E也叫F的扩域或扩张。扩张当然要从最简单的域开始，我们比较熟悉的简单域有哪些？最 阅读全文

posted @ 2015-09-10 08:12 卞爱华 阅读(7991) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【抽象代数】 09 - 伽罗瓦理论
摘要：1. 正规扩域 在研究域F的代数扩张E时，首要的前提是扩域E是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是F的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数 阅读全文

posted @ 2015-09-10 14:24 卞爱华 阅读(5050) 评论(3) 推荐(2) 编辑

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