【集合论】 01 - 集合还要论？
摘要：【本系列目录】 01 - 集合还要论？ 02 - 集合与自然数 03 - 序集和序数 博客总目录 "不就是集合吗？高中就学过了。小样，别以为加个“论”字我就不认识你！"在我们的印象中，集合一直是数学的基础语言，任何一个分支都是由集合定义起的。殊不知，这一状况其实才几十年时间，集合论（Set Theo
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posted @ 2014-10-11 11:11
合集-集合与数系
【集合论】 02 - 集合与自然数
摘要：1. 公理系统 先来看看康托尔对集合的定义：“一个集合是我们知觉中或理智中的、确定的、互不相同的事物的一个汇集，被设想为一个整体”。尽管康托尔本人已经建立起了相当广泛而深刻的集合理论，但对于集合本身的定义却还是含糊的，他的理论被称为“朴素集合论”（Native Set Theory）。虽然试图描述集
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posted @ 2014-10-11 18:17
【集合论】 03 - 序集和序数
摘要：1. 势 在上一篇我提过自然数“量”和“序”的双重性质，如果再仔细斟酌，“量”其实是由“序”产生和决定的，把有限的元素按某个顺序排列起来，正是我们确定其数量的过程。那么对于无穷集，“量”和“序”还有这样的关系吗？无穷集的“量”和“序”又该如何定义呢？既然它们产生于自然数，那么答案自然就在自然数的扩展
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posted @ 2014-10-12 00:31
【实数系统】 01 - 万物皆数
摘要：【本系列目录】 01 - 万物皆数 02 - 实数构造 03 - 极限 04 - 连分数 博客总目录 1、2、3、……，自然数就好像是大自然的母语，它独立于人的思维而存在，甚至很多动物都会简单的计数。考古学有足够的证据表明，远远早于人类文明之前，人们就开始有意识地计数了。到了古希腊时期，以各种政治宗
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posted @ 2014-12-01 15:02
【实数系统】 02 - 实数构造
摘要：人们在工作和生活中熟练地使用着数，只要按照运算律进行计算，就不用怀疑结果是否正确。面对着那些似乎天经地义的运算法则，一般人根本不会多想，更看不出什么花样来。即使是碰到了似是而非的概念，大部分人也是选择视而不见，因为它们似乎并不影响最终的结果。然而数作为大自然的语言，数学家们并不甘心只是把它当做一般的
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posted @ 2014-12-01 21:06
【实数系统】 03 - 极限
摘要：1. 实数基本定理 实数的构造理论为实数及其完备性奠定了严格的基础，但为了研究分析学的方便，我们需要更符合“直觉”的结论。在这之前，先来了解一些重要的概念。 对于一个基本序列，我们的直觉是它将逐渐逼近某个数，这个数一般称为数列的极限。极限的严格定义由维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出：一个实
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posted @ 2014-12-02 06:29
【实数系统】 04 - 连分数
摘要：我们一直在不自觉地使用着十进制小数（decimal fraction）表示实数，小数运算方便、容易理解，让实数使用起来更加自如。但小数却不能提供更多关于实数本身的性质，尤其是对无理数、超越数的研究，小数表示完全无法胜任。有人会感到困惑，什么叫实数本身的性质？实数本身还有什么需要进一步研究的？比如说吧
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posted @ 2014-12-02 15:12
