合集-实变与泛函

【实变函数】01 - 更合理的积分
摘要：【本系列目录】 01 - 更合理的积分 02 - 测度论基础 03 - 可测函数 04 - 基于测度的积分 05 - 积分极限和乘积测度 06 - 导数与单调函数 07 - 微积分基本定理 08 - 广义测度和积分 博客总目录 1. 源起 在整理博客之初，我打算从数学最基础的学科开始，逐渐往上建立完 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:15 卞爱华 阅读(449) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】02 - 测度论基础
摘要：1. 测度和σ-环 在上一篇我感受到，对复杂集合的描述都是很困难的事，更不好定义一个清晰普遍的测度。正确的思路应该是，从可以定义测度的简单集开始，合理地向外扩展，直至包含足够丰富的集。这样即满足了复杂性要求，也同时兼容了简单集的测度。所谓简单集，就比如实数集上的区间，区间长（测度） 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:17 卞爱华 阅读(729) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】03 - 可测函数
摘要：上篇在σ-环上延拓了测度的概念，并讨论了实数轴上典型的可测集L,Lg,B。这些理论精巧而有其独立性，但还需放到合适的领域里才能展现其本质和威力。σ-环是个普遍的代数结构，它的可列交并运算特别适用于需要 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:20 卞爱华 阅读(779) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】04 - 基于测度的积分
摘要：1. 有限有界积分 1.1 积分及存在性 有了前两篇的铺垫，现在可以顺理成章地定义积分的概念了。和Riemann积分一样，定义要分成两步，先是在有限定义域的有界函数上，然后使用极限法推广到一般函数上。具体来说，设E是某测度空间的有限可测集（μ(E)<∞），\(f(x)\ 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:28 卞爱华 阅读(324) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度
摘要：1. 积分的极限 积分与极限运算的交换，是数学分析中的重要工具。但在Riemann积分中，运算交换需要较强的条件，特别是麻烦的“一致收敛性”。然而“一致收敛性”并不是运算交换的必要条件，但是从Riemann积分的定义出发，却很难再有进一步的弱化条件。本篇你将看到，在基于测度的积分上，极限性质只需一些 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:29 卞爱华 阅读(398) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】06 - 导数和单调函数
摘要：建立完积分的理论后，现在来讨论微分、以及牛顿-莱布尼兹定理。因为涉及导函数的积分，自然要求导数几乎处处存在，而这类函数的全体过于复杂，很难得出一般性结论。这时我们不妨从“简单函数”入手，先探讨出基础的结论，然后把函数延展到更普遍的范围。本篇和下一篇就在Lebesgue积分上讨论这些问题，你可以把相应 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:30 卞爱华 阅读(346) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】07 - 微积分基本定理
摘要：1. 有界变差函数 1.1 有界变差函数及性质 我们已经看到，单调函数有着很好的微分性质，但单调函数又过于“简单”了，更一般的函数都会有上下起伏。那要做怎样的限定才能保证函数既够“简单”又够“一般”呢？现在来讨论“起伏之和”有限的函数。记f(x)是[a,b]上的有限函数，并取\([a 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:31 卞爱华 阅读(549) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】08 - 广义测度和积分
摘要：本篇我们将对测度做更一般的讨论，以将其推广到更大的范围。 1. 变数变换和L-S测度 1.1 变数变换 我们知道，测度是一个集函数，也就是子集到实数的映射。如果定义两个基本空间的映射φ:X1→X2，就有可能建立两个测度空间的关联。具体来说，假定φ 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:32 卞爱华 阅读(527) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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