随笔分类 -  数学_代数

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【抽象代数】 04 - 类方程和有限群
摘要：之前两篇是群的基本概念，我们对群的结构了解得还很少。进一步的研究需要深入其本质，找到群最关键的特点。群的核心其实就是它的变换规律，要想看得更多，就必须回归到变换的特点上来。由此要把群放在更生动的场景下，才能体现其本性。这个思路是群论思想的精髓，后面我们还会回来继续研究，而这里只撷取比较简单的一种手段 阅读全文

posted @ 2015-05-10 08:50 卞爱华 阅读(5164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【抽象代数】 03 - 商群和直积
摘要：1. 陪集 现在继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先根据子群的判定条件，如果H,K⩽G，则很容易有H∩K⩽G。那么H∪K呢?当然这里H,K都是真子群，并且不互相包含。从H中取元素 阅读全文

posted @ 2015-05-10 00:34 卞爱华 阅读(5839) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【抽象代数】 02 - 代数与群
摘要：1. 代数系统 1.1 运算律 我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。多数场景里，像和原像往往是同一个集合，这里就讨论这样的函数。一元函数f:A↦A也被称为集合A上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合A上的n 阅读全文

posted @ 2015-05-09 18:33 卞爱华 阅读(5979) 评论(3) 推荐(1) 编辑

【抽象代数】 01 - 数学的“倚天剑”
摘要：【本系列目录】 01 - 数学的“倚天剑” 02 - 代数与群 03 - 商群和直积 04 - 类方程和有限群 05 - 环和域 06 - 理想与直和 07 - 因子分解和多项式环 08 - 域的扩张 09 - 伽罗瓦理论 博客总目录 在一般人的印象中，数学就是用来计算的，这种说法笼统讲也没有错，因 阅读全文

posted @ 2015-05-09 12:29 卞爱华 阅读(5615) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【初等数论】 06 - 不定方程
摘要：前面介绍的只是初等数论的基本概念，它有很多的应用场景，如果有机会以后我们还会看到，这里我只想单独举出不定方程的例子。不定方程又叫丢潘图方程，它们以整数（或有理数）为变量和参数，而且有两个以上的未知数，多以多项式形式出现。不定方程既是数论的应用，也是数论理论形成的来源，对不定方程的思考会动用起你全部的 阅读全文

posted @ 2015-04-19 09:22 卞爱华 阅读(3277) 评论(1) 推荐(3) 编辑

【初等数论】 05 - 指数和原根
摘要：1. 指数 现在我们就开始为剩余系建立“坐标”，完全剩余系是连续的，剩余类本身就是很好的坐标，所以这里我们只需讨论既约剩余系。前面已经知道(a,m)=1时，总存d在使得ad≡1(modm)，满足条件的最小的d0=δm(a)称为a 阅读全文

posted @ 2015-04-19 02:53 卞爱华 阅读(3166) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【初等数论】 04 - 同余方程
摘要：1. 同余方程 剩余类可以看做是一个新的数系，它对加减乘运算是封闭的，所以同余方程对多项式是有意义的。本节我们就来讨论一元多项式方程（1）的解，当然它的解是一个剩余类集合，最多有m个解。 \[f(x)=\sum_{k=0}^{n}{a_kx^k}=a^nx^n+\cdots+a_1x+a_0 阅读全文

posted @ 2015-04-18 20:53 卞爱华 阅读(4814) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【初等数论】 03 - 同余和剩余系
摘要：1. 同余 公约数是我们要讨论的主要整数关系，对整数m而言，其它整数与它的关系以m为周期出现着重复，具体讲就是任何整数和带余除法中的余数是等价的。为此我们可以在整数中建立另一种等价关系，如果m∣a−b，则称a,b在模m下同余，记做\(a\equiv b 阅读全文

posted @ 2015-04-18 14:06 卞爱华 阅读(4202) 评论(2) 推荐(2) 编辑

【初等数论】 02 - 整除与公约数
摘要：当从这里开始的时候，你的行囊里不需要太多的东西，只要会整数的加减乘除即可。东西多了不仅帮不了你，反而会成为前进的负担。正如在前两篇中一样，你需要首先抛开一切固有思维，清空大脑，带着孩童般的好奇心重新认识这个世界。由于数论经常出现于奥数和智力题中，它往往被当成一种智力游戏，但随着研究的深入，你需要建立 阅读全文

posted @ 2015-04-18 07:57 卞爱华 阅读(2232) 评论(2) 推荐(2) 编辑

【初等数论】 01 - 数学的皇后
摘要：【本系列目录】 01 - 数学的皇后 02 - 整除与公约数 03 - 同余和剩余系 04 - 同余方程 05 - 指数和原根 06 - 不定方程 博客总目录 数学的主题是数和形，它们是最基础、最久远的数学概念。克罗内克说过：“上帝创造了自然数，其它都是人的作品”，所以我们选择从数开始说起。数论（N 阅读全文

posted @ 2015-04-17 23:55 卞爱华 阅读(4111) 评论(2) 推荐(3) 编辑

【集合论】 03 - 序集和序数
摘要：1. 势 在上一篇我提过自然数“量”和“序”的双重性质，如果再仔细斟酌，“量”其实是由“序”产生和决定的，把有限的元素按某个顺序排列起来，正是我们确定其数量的过程。那么对于无穷集，“量”和“序”还有这样的关系吗？无穷集的“量”和“序”又该如何定义呢？既然它们产生于自然数，那么答案自然就在自然数的扩展 阅读全文

posted @ 2014-10-12 00:31 卞爱华 阅读(4994) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【集合论】 02 - 集合与自然数
摘要：1. 公理系统 先来看看康托尔对集合的定义：“一个集合是我们知觉中或理智中的、确定的、互不相同的事物的一个汇集，被设想为一个整体”。尽管康托尔本人已经建立起了相当广泛而深刻的集合理论，但对于集合本身的定义却还是含糊的，他的理论被称为“朴素集合论”（Native Set Theory）。虽然试图描述集 阅读全文

posted @ 2014-10-11 18:17 卞爱华 阅读(7389) 评论(2) 推荐(2) 编辑

【集合论】 01 - 集合还要论？
摘要：【本系列目录】 01 - 集合还要论？ 02 - 集合与自然数 03 - 序集和序数 博客总目录 "不就是集合吗？高中就学过了。小样，别以为加个“论”字我就不认识你！"在我们的印象中，集合一直是数学的基础语言，任何一个分支都是由集合定义起的。殊不知，这一状况其实才几十年时间，集合论（Set Theo 阅读全文

posted @ 2014-10-11 11:11 卞爱华 阅读(4818) 评论(4) 推荐(6) 编辑

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