数学_分析 - 随笔分类 - 卞爱华

【实变函数】08 - 广义测度和积分

摘要：本篇我们将对测度做更一般的讨论，以将其推广到更大的范围。 1. 变数变换和L-S测度 1.1 变数变换我们知道，测度是一个集函数，也就是子集到实数的映射。如果定义两个基本空间的映射

φ : X_{1} \to X_{2}

，就有可能建立两个测度空间的关联。具体来说，假定

φ

阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:32 卞爱华阅读(523) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】07 - 微积分基本定理

摘要：1. 有界变差函数 1.1 有界变差函数及性质我们已经看到，单调函数有着很好的微分性质，但单调函数又过于“简单”了，更一般的函数都会有上下起伏。那要做怎样的限定才能保证函数既够“简单”又够“一般”呢？现在来讨论“起伏之和”有限的函数。记

f (x)

是

[a, b]

上的有限函数，并取\([a 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:31 卞爱华阅读(539) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】06 - 导数和单调函数

摘要：建立完积分的理论后，现在来讨论微分、以及牛顿-莱布尼兹定理。因为涉及导函数的积分，自然要求导数几乎处处存在，而这类函数的全体过于复杂，很难得出一般性结论。这时我们不妨从“简单函数”入手，先探讨出基础的结论，然后把函数延展到更普遍的范围。本篇和下一篇就在Lebesgue积分上讨论这些问题，你可以把相应阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:30 卞爱华阅读(338) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度

摘要：1. 积分的极限积分与极限运算的交换，是数学分析中的重要工具。但在Riemann积分中，运算交换需要较强的条件，特别是麻烦的“一致收敛性”。然而“一致收敛性”并不是运算交换的必要条件，但是从Riemann积分的定义出发，却很难再有进一步的弱化条件。本篇你将看到，在基于测度的积分上，极限性质只需一些阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:29 卞爱华阅读(385) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】04 - 基于测度的积分

摘要：1. 有限有界积分 1.1 积分及存在性有了前两篇的铺垫，现在可以顺理成章地定义积分的概念了。和Riemann积分一样，定义要分成两步，先是在有限定义域的有界函数上，然后使用极限法推广到一般函数上。具体来说，设

E

是某测度空间的有限可测集（

μ (E) < \infty

），\(f(x)\ 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:28 卞爱华阅读(319) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】03 - 可测函数

摘要：上篇在

σ

-环上延拓了测度的概念，并讨论了实数轴上典型的可测集

L, L^{g}, B

。这些理论精巧而有其独立性，但还需放到合适的领域里才能展现其本质和威力。

σ

-环是个普遍的代数结构，它的可列交并运算特别适用于需要阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:20 卞爱华阅读(771) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】02 - 测度论基础

摘要：1. 测度和

σ

-环在上一篇我感受到，对复杂集合的描述都是很困难的事，更不好定义一个清晰普遍的测度。正确的思路应该是，从可以定义测度的简单集开始，合理地向外扩展，直至包含足够丰富的集。这样即满足了复杂性要求，也同时兼容了简单集的测度。所谓简单集，就比如实数集上的区间，区间长（测度）阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:17 卞爱华阅读(715) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】01 - 更合理的积分

摘要：【本系列目录】 01 - 更合理的积分 02 - 测度论基础 03 - 可测函数 04 - 基于测度的积分 05 - 积分极限和乘积测度 06 - 导数与单调函数 07 - 微积分基本定理 08 - 广义测度和积分博客总目录 1. 源起在整理博客之初，我打算从数学最基础的学科开始，逐渐往上建立完阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:15 卞爱华阅读(442) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【初等概率论】 05 - 极限定理和正态分布

摘要：1. 极限定理至现在为止，概率论仿佛还算简单，只是把一些直观的东西用数学语言表达出来而已。当有了实变和泛函的基础后，你会发现概率论只是分析学的一个普通特例，故更丰富的内容还需我们提升之后再去欣赏。概率论中很多极限问题，一度成为其核心课题，它们不仅发掘了更多有趣的结论，更是解释了很多深层的随机现象。阅读全文

posted @ 2017-02-07 01:43 卞爱华阅读(2063) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【初等概率论】 04 - 数字特征

摘要：随机变量的分布函数包含了它的全部信息，随之我们就需要对随机变量进行一些定量分析，即通过相对简单的数值来度量随机变量的某些特征。有些特征对于随机变量来说比较基本、比较重要，比如平均值、分散程度等，本篇就集中讨论这些特征。 1. 数学期望 1.1 期望的定义随机变量可取到一些实数值，对其最常用的一种度阅读全文

posted @ 2017-02-07 01:24 卞爱华阅读(1300) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【初等概率论】 03 - 常见分布和问题举例

摘要：1. 常见分布这里讨论几个常见的概率分布，而它们之间存在着紧密的关联。很多复杂的概率模型其实有着更简单的底层原理，这种联系再次验证了随机现象的确定性方面。看似复杂随机现象其实就是由许多“原子事件”组合而成，数学的规律仍然起着支配作用。 1.1 伯努利试验最简单且有意义的事件域是\(\mathsc 阅读全文

posted @ 2017-02-07 00:54 卞爱华阅读(2296) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【初等概率论】 02 - 条件概率和随机变量

摘要：概率空间是事先给定的，其中样本空间是定义的基础，事件及其概率是我们讨论的对象。那么面对一个给定的概率空间，我们要讨论一些什么问题呢？事件与概率是绑定在一起的，故应把注意力放在事件域上，本篇从两个角度考察事件概率：条件概率和随机变量，它们是概率论中非常基础的概念。 1. 条件概率 1. 1 定义和性质阅读全文

posted @ 2017-02-07 00:32 卞爱华阅读(2668) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【初等概率论】 01 - 不确定中的确定性

摘要：【本系列目录】 01 - 不确定中的确定性 02 - 条件概率和随机变量 03 - 常见分布和问题举例 04 - 数字特征 05 - 极限定理和正态分布博客总目录经过漫长的预热，终于要开始看概率论了，心里还是比较开心的。本着把数学应用到计算机工业中的初心，将大学数学的基本学科梳理了一遍，收获却是阅读全文

posted @ 2017-02-07 00:02 卞爱华阅读(2723) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【微积分】 10 - 广义积分

摘要：1. 反常积分 1.1 反常积分的定义定积分是定义在闭区间

[a, b]

上的有界函数上，这里对积分的概念作一点推广。考察积分

\int_{1}^{A} \frac{1}{x^{2}} d x = 1 - \frac{1}{A}

，当

A \to + \infty

时，积分有极限

1

阅读全文

posted @ 2016-03-03 15:22 卞爱华阅读(3779) 评论(2) 推荐(1) 编辑

【微积分】 09 - 函数项级数

摘要：1. 一致收敛函数 1.1 函数项级数前面讨论了数列的极限和级数，它们都是对单点的逼近，现在我们把这些讨论扩展到函数对象。设

u_{1} (x), u_{2} (x), \dots

是同一定义域上的函数序列，则式（1）左被称为函数项级数，式（1）右是它的部分和函数。如果

S_{n} (x)

处处收敛于\(S( 阅读全文

posted @ 2016-03-03 15:18 卞爱华阅读(2888) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【微积分】 08 - 数项级数

摘要：1. 级数 1.1 级数的定义现在从增量的角度重新讨论数列的极限，而这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。对于数列

S_{n}

，设

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

，则有

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

。为讨论

S_{n}

的敛散性，定义式（1）的加式为级数，\(a_n\ 阅读全文

posted @ 2016-03-03 15:13 卞爱华阅读(2486) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【微积分】 07 - 微积分的应用

摘要：1. 微分的应用 1.1 一元函数的微分 1.1.1 单调性、极值、渐近线导数给出了函数的走向，它对我们分析函数的图形性质很有作用，这里就用微分学的知识来了解函数的性质。一阶导数对函数的影响是最直接的，这里先看一阶导数。对于区间上的常值函数

f (x) = C

，它的导数处处为零，反之由中值定理知，阅读全文

posted @ 2016-03-03 11:38 卞爱华阅读(1778) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【微积分】 06 - 重积分

摘要：1. 二重积分 1.1 定义和性质一元定积分的概念可以推广到空间中，不同的是曲线

y = f (x)

换成了曲面

z = f (x, y)

，曲面在

x y

平面上的投影

D

即为定义域。为求得曲面和

D

之间柱体

Ω

的体积，可以将

D

划分为若干区域\(D_1,D_2,\ 阅读全文

posted @ 2016-03-03 11:06 卞爱华阅读(1312) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【微积分】 05 - 多元微分

摘要：1. 多元函数 1.1 欧几里得空间很多函数的自变量不止一个，现在就来讨论这种函数的性质，多元函数可以记作

f (x_{1}, \dots, x_{n})

。如果只是独立地讨论函数与每个变量的关系，大可不必给出新的概念，我们需要把所有自变量当成一个“数”看待，并研究这种函数的分析特性。对于这种数，我们还需阅读全文

posted @ 2016-03-03 08:59 卞爱华阅读(2123) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【微积分】 04 - 一元积分

摘要：1. 不定积分 1.1 原函数和不定积分前面的微分学讨论了导数对函数局部值的影响，现在开始就来看看整体的导函数能确定怎样的函数？换句话说，已知导函数的情况下，能否确定函数本身。对于不是处处有定义的导函数，为了简单起见，可以把它拆分成多个区间讨论。为此，对于区间

I

上处处有定义的导函数\(f( 阅读全文

posted @ 2016-03-02 22:41 卞爱华阅读(3048) 评论(1) 推荐(1) 编辑

万物皆数

随笔分类 - 数学_分析