随笔分类 -  数学_几何

【高等几何】06 - 一般仿射几何
摘要：1. 顺序公理 到目前为止，射影几何都是在一般域F中讨论的，最多也只在二阶曲面里使用了“代数闭域”。但实数域作为真实世界的模型，也是欧氏几何的所在域，更有其独特的性质和意义。为了在后续讨论中能够自由地使用实数，我们接续上一篇的结合公理，增补实数域所必须的顺序公理。这组公理重在为直线上的点建立 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:55 卞爱华 阅读(510) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】05 - 射影几何
摘要：上一篇我们用一组结合公理在射影空间的直线上构建了代数域（体），并且将射影空间的元素用齐次坐标彻底代数化。本篇开始就让这个代数工具大显身手，进一步深入探究射影几何的诸多性质。 1. 射影几何 1.1 射影几何与交比 大部分教材绕开了结合公理，直接用线性空间定理射影几何，在方便理解的同时却丢失了数学的核 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:52 卞爱华 阅读(1018) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】04 - 射影结合公理
摘要：上一篇我们扩展了仿射空间，并在其上定义了交比和射影变换。同素性和关联性是射影不变性，（点列和线束）交比是射影不变量，现在我们就要以这些射影性质为启发，抽象并构建新的几何空间。但这一次要做得更彻底，不同于仿射几何对于欧氏几何做减法，我们要从零开始建立射影几何，并顺带推广仿射几何与欧氏几何。是的，你将不 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:50 卞爱华 阅读(364) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】03 - 射影变换
摘要：1. 增补仿射空间 1.1 点透视的启发 在第一篇中说到，圆锥面对于不同平面的截面构成了我们熟悉的二次曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线），因此它们也被称为圆锥曲线。至于为什么会是这样，最直观的证明就是著名的丹德林（Dandeline）双球模型。上一篇中圆柱截面为椭圆的证明，放在圆锥中依然适用。下图则演 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:50 卞爱华 阅读(932) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】02 - 仿射几何
摘要：1. 仿射几何 1.1 前言 在切入正题之前，有必要再重申一下“埃尔朗根纲领”的主要思想：“几何学就是研究某类变换的不变性”。一般来说，我们终究是为了获得现实空间中的几何性质，但某个特定问题不一定关系到空间中的所有属性，在思考和使用工具时这些属性势必成为干扰限制、甚至障碍。几何变换则是让无关属性“动 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:48 卞爱华 阅读(757) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】01 - 古典与现代的结合
摘要：【本系列目录】 01 - 古典与现代的结合 02 - 仿射几何 03 - 射影变换 04 - 射影结合公理 05 - 射影几何 06 - 一般仿射几何 博客总目录 1. 源起 数学里冠以“高等”字眼的课程，一般只是相对于中学数学而言的，因此大家先不必紧张，而真正高深的课程往往拥有最“朴素”的名称。不 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:46 卞爱华 阅读(584) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【几何基础】05 - 笛沙格几何
摘要：上一篇讨论的非阿基米德几何，其本质上已经与欧几里得几何没有太大差别，平面几何的大部分结论也都可以得证。本篇我们试图再度简化公理系统，并以此研究特定公理对平面几何性质的影响。试想，如果我们只讨论平面上的点线关系，公理I1∼2,II,IV似乎已经足够，因为\(I_{3\sim 6} 阅读全文

posted @ 2022-01-29 14:56 卞爱华 阅读(1049) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【几何基础】04 - 比例和面积
摘要：希尔伯特的五组几何公理，描述了一个与欧几里得空间等价的几何空间，然而这套公理的价值远非如此。它的目的更在于分离出几何空间中最本质的内涵，对其精简分类，以突出每一个内涵的价值。所以到此为止，几何系统的讨论非但没有结束，而是才刚刚开始。在前几篇的定理讨论中，我们明确了这样一个事实：每个定理的成立都有其依 阅读全文

posted @ 2022-01-22 17:58 卞爱华 阅读(1328) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【几何基础】03 - 合同公理、平行公理、连续公理
摘要：1. 合同公理 1.1 线段和角的合同 关联定义了三大主角（点线面）的依附关系，顺序又限定了点在空间的次序（并间接影响线面的空间次序），现在还缺少对空间的度量。所谓度量就是对几何对象建立相等的概念，而相等的另一个等价说法就是教材上的“迁移”，“重合、相等”这样的概念本质上就是对象的动态关系，这样的关 阅读全文

posted @ 2022-01-22 16:47 卞爱华 阅读(1813) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【几何基础】02 - 顺序公理
摘要：1. 顺序公理 关联公理仅讨论了对象的连接属性，但这些对象目前仍然是一种无序的状态（集合状态）。为了体现对象的空间性，需要定义一种顺序关系，使得对象更有“方向性”和“位置感”。几何中的“位置”看起来有很多种，比如直线的两个方向、平面的两面、圆形（球形）的内外等，但令人惊讶的是，这些关系居然都可以从直 阅读全文

posted @ 2022-01-22 15:31 卞爱华 阅读(937) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【几何基础】01 - 几何的公理系统
摘要：【本系列目录】 01 - 几何的公理系统 02 - 顺序公理 03 - 合同公理、平行公理、连续公理 04 - 比例和面积 05 - 笛沙格几何 博客总目录 1. 历史背景 前面我们已经整理了代数和分析的基础知识，其中让我收获最大的，便是利用公理化思想给出模型的基本元素，然后逐步讨论模型中的基本问题 阅读全文

posted @ 2022-01-22 13:00 卞爱华 阅读(1252) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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