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摘要: 这里是个人的学习笔记,主要目标是数学和算法。内容比较紧凑,仅供学习交流使用,并无意展开为详细教程。 因为有大量的数学公式,建议使用Chrome浏览器,公式上右键可设置放大的方法(比如单击放大)。 希望结识天下数学友人和算法达人,我的微信号:edward_bian,手机:13862578725,邮箱:bahzll@163.com。 阅读全文

posted @ 2015-04-19 10:37 卞爱华 阅读(6085) 评论(8) 推荐(8) 编辑

2024年3月19日

【高等几何】06 - 一般仿射几何

摘要: 1. 顺序公理 到目前为止,射影几何都是在一般域\(F\)中讨论的,最多也只在二阶曲面里使用了“代数闭域”。但实数域作为真实世界的模型,也是欧氏几何的所在域,更有其独特的性质和意义。为了在后续讨论中能够自由地使用实数,我们接续上一篇的结合公理,增补实数域所必须的顺序公理。这组公理重在为直线上的点建立 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:54 卞爱华 阅读(296) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】05 - 射影几何

摘要: 上一篇我们用一组结合公理在射影空间的直线上构建了代数域(体),并且将射影空间的元素用齐次坐标彻底代数化。本篇开始就让这个代数工具大显身手,进一步深入探究射影几何的诸多性质。 1. 射影几何 1.1 射影几何与交比 大部分教材绕开了结合公理,直接用线性空间定理射影几何,在方便理解的同时却丢失了数学的核 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:52 卞爱华 阅读(619) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】04 - 射影结合公理

摘要: 上一篇我们扩展了仿射空间,并在其上定义了交比和射影变换。同素性和关联性是射影不变性,(点列和线束)交比是射影不变量,现在我们就要以这些射影性质为启发,抽象并构建新的几何空间。但这一次要做得更彻底,不同于仿射几何对于欧氏几何做减法,我们要从零开始建立射影几何,并顺带推广仿射几何与欧氏几何。是的,你将不 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:50 卞爱华 阅读(209) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】03 - 射影变换

摘要: 1. 增补仿射空间 1.1 点透视的启发 在第一篇中说到,圆锥面对于不同平面的截面构成了我们熟悉的二次曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线),因此它们也被称为圆锥曲线。至于为什么会是这样,最直观的证明就是著名的丹德林(Dandeline)双球模型。上一篇中圆柱截面为椭圆的证明,放在圆锥中依然适用。下图则演 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:49 卞爱华 阅读(587) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】02 - 仿射几何

摘要: 1. 仿射几何 1.1 前言 在切入正题之前,有必要再重申一下“埃尔朗根纲领”的主要思想:“几何学就是研究某类变换的不变性”。一般来说,我们终究是为了获得现实空间中的几何性质,但某个特定问题不一定关系到空间中的所有属性,在思考和使用工具时这些属性势必成为干扰限制、甚至障碍。几何变换则是让无关属性“动 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:48 卞爱华 阅读(512) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【高等几何】01 - 古典与现代的结合

摘要: 【本系列目录】 01 - 古典与现代的结合 02 - 仿射几何 03 - 射影变换 04 - 射影结合公理 05 - 射影几何 06 - 一般仿射几何 博客总目录 1. 源起 数学里冠以“高等”字眼的课程,一般只是相对于中学数学而言的,因此大家先不必紧张,而真正高深的课程往往拥有最“朴素”的名称。不 阅读全文

posted @ 2024-03-19 22:46 卞爱华 阅读(361) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2023年5月3日

【实变函数】08 - 广义测度和积分

摘要: 本篇我们将对测度做更一般的讨论,以将其推广到更大的范围。 1. 变数变换和L-S测度 1.1 变数变换 我们知道,测度是一个集函数,也就是子集到实数的映射。如果定义两个基本空间的映射\(\varphi:\,X_1\to X_2\),就有可能建立两个测度空间的关联。具体来说,假定\(\varphi\) 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:32 卞爱华 阅读(420) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】07 - 微积分基本定理

摘要: 1. 有界变差函数 1.1 有界变差函数及性质 我们已经看到,单调函数有着很好的微分性质,但单调函数又过于“简单”了,更一般的函数都会有上下起伏。那要做怎样的限定才能保证函数既够“简单”又够“一般”呢?现在来讨论“起伏之和”有限的函数。记\(f(x)\)是\([a,b]\)上的有限函数,并取\([a 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:31 卞爱华 阅读(431) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】06 - 导数和单调函数

摘要: 建立完积分的理论后,现在来讨论微分、以及牛顿-莱布尼兹定理。因为涉及导函数的积分,自然要求导数几乎处处存在,而这类函数的全体过于复杂,很难得出一般性结论。这时我们不妨从“简单函数”入手,先探讨出基础的结论,然后把函数延展到更普遍的范围。本篇和下一篇就在Lebesgue积分上讨论这些问题,你可以把相应 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:30 卞爱华 阅读(271) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度

摘要: 1. 积分的极限 积分与极限运算的交换,是数学分析中的重要工具。但在Riemann积分中,运算交换需要较强的条件,特别是麻烦的“一致收敛性”。然而“一致收敛性”并不是运算交换的必要条件,但是从Riemann积分的定义出发,却很难再有进一步的弱化条件。本篇你将看到,在基于测度的积分上,极限性质只需一些 阅读全文

posted @ 2023-05-03 18:29 卞爱华 阅读(248) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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