关于大数值n!的讨论——习题118

 

习题 118：求n!位数(ct15)★

题目描述：
求n!的位数，例如1!=1，1位；5!=120，3位。

输入：
本题有多组测试数据，每组一行整数n<=1e6。输入以一个任意负数结束。

输出：
对于每一组测试数据n，输出一行一个整数，代表n!的位数。

样例输入：
1
5
-1

样例输出：
1
3

其它信息：
Contest15竞赛题目
经典问题

难度：Very Easy

常规思路就是先求出n!的值，然后log10(n!)就是n!位数。

我们先来用常规方法求一下n!:

public class FactorialClass {
    //递归
    long recursive(int n){
        if(n<=1)
        {
            return 1;
        }
        else
        {
            return n*recursive(n-1);
        }
    }
    //非递归
    long non_recursive(int n){
        long product=n;
        
        if(n<=0)
        {
            return 1;
        }
        for(int i=n-1;i>1;i--)
        {
            product*=i;
        }
        return product;
    }
}

public class FactorialTest {

    /**
     * @Version 1.6 2009/10/05
     * @author Eduardo
     */
    public static void main(String[] args) {
        
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        FactorialClass value=new FactorialClass();
        int n;
        
        System.out.println("请输入n的值:");
        while(cin.hasNextInt())
        {
            n = cin.nextInt();
            if(n<0)break;
            System.out.println("n的阶乘为:"+value.non_recursive(n));
            System.out.println("阶乘的位数为 ："+((int)Math.log10(value.non_recursive(n))+1));
            System.out.println("输入一个正数【继续】,输入任意负数【退出】");
        }

    }    
}

      从输出结果看：

     

      当n取21时，n!的值溢出了，即超过了long的取值范围,这也就表明常规解法不能求出大数值的n!。

 

      上Baidu查询解决办法，得知斯特林公式可以解决问题：

维基百科

斯特灵公式是一条用来取n阶乘近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特灵公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特灵公式的取值已经十分准确。

公式为：

         (1)

这就是说，对于足够大的整数n，这两个数互为近似值。更加精确地：

     (2)

或

        (3)

     我们把公式(1)推导一下:

     ln(n!)=0.5*ln(2*PI*n)+n*ln(n/e)

             =0.5*ln(2*PI*n)+n*ln(n)-n

     根据换底公式ln(n)/ln(10)=log10(n)得：

     log10(n!)=(0.5*ln(2*PI*n)+n*ln(n)-n)/log10(n)

     下面我就用Java表示求阶乘近似位数公式。

     Math类有两个静态属性：E和PI。E代表数学中的e 2.7182818，而PI代表派pi 3.1415926。 

类型	属性名	描述
static double	E	比任何其他值都更接近 e（即自然对数的底数）的 double 值。
static double	PI	比任何其他值都更接近 pi（即圆的周长与直径之比）的 double 值。

Math类有很多静态方法：求三角函数、反三角函数、指数函数、幂数函数、绝对值等等。下面只列举部分方法，其他方法参见JDK帮助文档。

类型	方法名	描述
static double	log(double a)	返回 double 值的自然对数（底数是 e）。
static double	log10(double a)	返回 double 值的底数为 10 的对数。
static double	log1p(double x)	返回参数与 1 之和的自然对数。

 

类型	方法名	描述
static double	ceil(double a)	返回最小的（最接近负无穷大）double 值，该值大于等于参数，并等于某个整数。

     由于log10(n!)是double所以要向上取整：

     log10(n!)=(int)(Math.ceil((0.5*Math.log(2*n*Math.PI)+n*Math.log(n)-n)/Math.log(10)))

 

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Stirling {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int n;
        
        while(cin.hasNextInt()){
            n = cin.nextInt();
            if(n<0)break;
            if(n==1||n==0)System.out.println(1);
            else System.out.println((int)(Math.ceil((0.5*Math.log(2*n*Math.PI)+n*Math.log(n)-n)/Math.log(10))));
        }
    }

}

 

     这样既可满足习题的要求了。