剑指Offer面试题：22.二叉搜索树的后序遍历序列

一、题目：二叉搜索树的后序遍历序列

题目：输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历的结果。如果是则返回true，否则返回false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

　　例如在下面的一颗二叉搜索树中，输入数组{5,7,6,9,11,10,8}，则返回true，因为这个整数序列是下图二叉搜索树的后序遍历结果。如果输入的数组是{7,4,6,5}，由于没有哪棵二叉搜索树的后序遍历的结果是这个序列，因此返回false。

二、解题思路

2.1 核心步骤

　　在后序遍历得到的序列中，最后一个数字是树的根结点的值。数组中前面的数字可以分为两部分：第一部分是左子树结点的值，它们都比根结点的值小；第二部分是右子树结点的值，它们都比根结点的值大。

　　因此，我们可以总结出算法步骤：

　　Step1.通过取出序列最后一个元素得到二叉搜索树的根节点；

　　Step2.在二叉搜索树中左子树的结点小于根结点，因此可以遍历一次得到左子树；

　　Step3.在二叉搜索树中右子树的结点大于根结点，因此可以继续遍历后序元素得到右子树；

　　Step4.重复以上步骤递归判断左右子树是不是二叉搜索树，如果都是，则返回true，如果不是，则返回false;

2.2 代码实现

    public static bool VerifySquenceOfBST(int[] sequence, int length)
    {
        if (sequence == null || length <= 0)
        {
            return false;
        }

        int root = sequence[length - 1];

        int i = 0;
        // 在二叉搜索树中左子树的结点小于根结点
        for (; i < length - 1; i++)
        {
            if (sequence[i] > root)
            {
                break;
            }
        }
        // 在二叉搜索树中右子树的结点大于根结点
        int j = i;
        for (; j < length - 1; j++)
        {
            if (sequence[j] < root)
            {
                // 如果找到小于根节点直接返回false
                return false;
            }
        }
        // 判断左子树是不是二叉搜索树
        bool leftIsBST = true;
        if (i > 0)
        {
            leftIsBST = VerifySquenceOfBST(sequence, i);
        }
        // 判断右子树是不是二叉搜索树
        bool rightIsBST = true;
        if (j < length - 1)
        {
            // C#中无法直接操作指针，在C/C++可以直接传递sequence+i
            int[] newSequence = sequence.Skip(i).ToArray();
            rightIsBST = VerifySquenceOfBST(newSequence, length - i - 1);
        }

        return leftIsBST && rightIsBST;
    }

三、单元测试

3.1 测试用例

    //            10
    //         /      \
    //        6        14
    //       /\        /\
    //      4  8     12  16
    [TestMethod]
    public void SequenceTest1()
    {
        int[] data = { 4, 8, 6, 12, 16, 14, 10 };
        bool result = SequenceHelper.VerifySquenceOfBST(data, data.Length);
        Assert.AreEqual(result, true);
    }

    //           5
    //          / \
    //         4   7
    //            /
    //           6
    [TestMethod]
    public void SequenceTest2()
    {
        int[] data = { 4, 6, 7, 5 };
        bool result = SequenceHelper.VerifySquenceOfBST(data, data.Length);
        Assert.AreEqual(result, true);
    }

    //               5
    //              /
    //             4
    //            /
    //           3
    //          /
    //         2
    //        /
    //       1
    [TestMethod]
    public void SequenceTest3()
    {
        int[] data = { 1, 2, 3, 4, 5 };
        bool result = SequenceHelper.VerifySquenceOfBST(data, data.Length);
        Assert.AreEqual(result, true);
    }

    // 1
    //  \
    //   2
    //    \
    //     3
    //      \
    //       4
    //        \
    //         5
    [TestMethod]
    public void SequenceTest4()
    {
        int[] data = { 5, 4, 3, 2, 1 };
        bool result = SequenceHelper.VerifySquenceOfBST(data, data.Length);
        Assert.AreEqual(result, true);
    }

    // 树中只有1个结点
    [TestMethod]
    public void SequenceTest5()
    {
        int[] data = { 5 };
        bool result = SequenceHelper.VerifySquenceOfBST(data, data.Length);
        Assert.AreEqual(result, true);
    }

    // 错误序列
    [TestMethod]
    public void SequenceTest6()
    {
        int[] data = { 7, 4, 6, 5 };
        bool result = SequenceHelper.VerifySquenceOfBST(data, data.Length);
        Assert.AreEqual(result, false);
    }

    // 错误序列
    [TestMethod]
    public void SequenceTest7()
    {
        int[] data = { 4, 6, 12, 8, 16, 14, 10 };
        bool result = SequenceHelper.VerifySquenceOfBST(data, data.Length);
        Assert.AreEqual(result, false);
    }

    // 错误序列
    [TestMethod]
    public void SequenceTest8()
    {
        bool result = SequenceHelper.VerifySquenceOfBST(null, 0);
        Assert.AreEqual(result, false);
    }