剑指Offer面试题：8.斐波那契数列

一、题目：斐波那契数列

题目：写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：　

二、效率很低的解法

　　很多C/C++/C#/Java语言教科书在讲述递归函数的时候，大多都会用Fibonacci作为例子，因此我们会对这种解法烂熟于心：

    public static long FibonacciRecursively(uint n)
    {
        if (n <= 0)
        {
            return 0;
        }
        if (n == 1)
        {
            return 1;
        }

        return FibonacciRecursively(n - 1) + FibonacciRecursively(n - 2);
    }

　　上述递归的解法有很严重的效率问题，通过求解第10项的调用过程图来分析：

　　从上图中不难发现：在这棵树中有很多结点是重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加，这意味计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。

三、实用循环的解法

　　改进的方法并不复杂。上述递归代码之所以慢是因为重复的计算太多，我们只要想办法避免重复计算就行了。这里的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，再根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。

    public static long FibonacciIteratively(uint n)
    {
        int[] result = { 0, 1 };
        if (n < 2)
        {
            return result[n];
        }

        long fibNMinusOne = 1;
        long fibNMinusTwo = 0;
        long fibN = 0;

        for (uint i = 2; i <= n; i++)
        {
            fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;

            fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
            fibNMinusOne = fibN;
        }

        return fibN;
    }

四、单元测试

　　（1）单元测试用例

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest1()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(0),0);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest2()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(1), 1);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest3()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(2), 1);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest4()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(3), 2);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest5()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(4), 3);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest6()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(5), 5);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest7()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(6), 8);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest8()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(7), 13);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest9()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(8), 21);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest10()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(9), 34);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest11()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(10), 55);
    }

    [TestMethod]
    public void FibonacciTest12()
    {
        Assert.AreEqual(FibonaaciHelper.FibonacciIteratively(40), 102334155);
    }