数据结构基础温故-5.图（中）：图的遍历算法
上一篇我们了解了图的基本概念、术语以及存储结构，还对邻接表结构进行了模拟实现。本篇我们来了解一下图的遍历，和树的遍历类似，从图的某一顶点出发访问图中其余顶点，并且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历（Traversing Graph）。如果只访问图的顶点而不关注边的信息，那么图的遍历十分简单，使用一个foreach语句遍历存放顶点信息的数组即可。但是，如果为了实现特定算法，就必须要根据边的信息按照一定的顺序进行遍历。图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求解关键路径等算法的基础。
上一篇我们了解了图的基本概念、术语以及存储结构，还对邻接表结构进行了模拟实现。本篇我们来了解一下图的遍历，和树的遍历类似，从图的某一顶点出发访问图中其余顶点，并且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历（Traversing Graph）。如果只访问图的顶点而不关注边的信息，那么图的遍历十分简单，使用一个foreach语句遍历存放顶点信息的数组即可。但是，如果为了实现特定算法，就必须要根据边的信息按照一定的顺序进行遍历。图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求解关键路径等算法的基础。
一、图的遍历
图的遍历要比树的遍历复杂得多，由于图的任一顶点都可能和其余顶点相邻接，所以在访问了某顶点之后，可能顺着某条边又访问到了已访问过的顶点。因此，在图的遍历过程中，必须记下每个访问过的顶点，以免同一个顶点被访问多次。为此，给顶点附加一个访问标志isVisited，其初值为false，一旦某个顶点被访问，则将其isVisited标志设为true。
protected class Vertex<TValue> { public TValue data; // 数据 public Node firstEdge; // 邻接点链表头指针 public bool isVisited; // 访问标志：遍历时使用 public Vertex() { this.data = default(TValue); } public Vertex(TValue value) { this.data = value; } }
在上面的顶点类的定义中，增加了一个bool类型的成员isVisited，用于在遍历时判断是否已经访问过了该顶点。一般在进行遍历操作时，会首先将所有顶点的isVisited属性置为false，于是可以写一个辅助方法InitVisited()，如下所示：
/// <summary> /// 辅助方法：初始化顶点的visited标志为false /// </summary> private void InitVisited() { foreach (Vertex<T> v in items) { v.isVisited = false; } }
图的遍历方法主要有两种：一种是深度优先搜索遍历（Depth-First Search，DFS），另一种是广度优先搜索遍历（Breadth-First Search，BFS）。下面，我们就来仔细看看这两种图的遍历算法。
二、深度优先搜索遍历
2.1 深度优先遍历原理
图的深度优先遍历类似于二叉树的深度优先遍历，其基本思想是：从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。显然，这是一个递归的搜索过程。
以上图为例，假定V1是出发点，首先访问V1。这时两个邻接点V2、V3均未被访问，可以选择V2作为新的出发点，访问V2之后，再找到V2的未访问过的邻接点。同V2邻接的有V1、V4和V5，其中V1已经访问过了，可以选择V4作为新的出发点。重复上述搜索过程，继续依次访问V8、V5。访问V5之后，由于与V5相邻的顶点均已被访问过，搜索退回到V8，访问V8的另一个邻接点V6.接下来依次访问V3和V7，最后得到的访问序列为V1→V2→V4→V8→V5→V6→V3→V7。
2.2 深度优先遍历实现
（1）实现代码
/// <summary> /// 深度优先遍历接口For连通图 /// </summary> public void DFSTraverse() { InitVisited(); // 首先初始化visited标志 DFS(items[0]); // 从第一个顶点开始遍历 } /// <summary> /// 深度优先遍历算法 /// </summary> /// <param name="v">顶点</param> private void DFS(Vertex<T> v) { v.isVisited = true; // 首先将访问标志设为true标识为已访问 Console.Write(v.data.ToString() + " "); // 进行访问操作：这里是输出顶点data Node node = v.firstEdge; while (node != null) { if (node.adjvex.isVisited == false) // 如果邻接顶点未被访问 { DFS(node.adjvex); // 递归访问node的邻接顶点 } node = node.next; // 访问下一个邻接点 } }
深度优先遍历是一个典型的递归过程，这里也使用了递归的方式。
（2）遍历测试
这里的测试代码构造的图如下所示：
测试代码如下所示：
static void MyAdjacencyListDFSTraverseTest() { Console.Write("深度优先遍历："); MyAdjacencyList<string> adjList = new MyAdjacencyList<string>(); // 添加顶点 adjList.AddVertex("V1"); adjList.AddVertex("V2"); adjList.AddVertex("V3"); adjList.AddVertex("V4"); adjList.AddVertex("V5"); adjList.AddVertex("V6"); adjList.AddVertex("V7"); adjList.AddVertex("V8"); // 添加边 adjList.AddEdge("V1", "V2"); adjList.AddEdge("V1", "V3"); adjList.AddEdge("V2", "V4"); adjList.AddEdge("V2", "V5"); adjList.AddEdge("V3", "V6"); adjList.AddEdge("V3", "V7"); adjList.AddEdge("V4", "V8"); adjList.AddEdge("V5", "V8"); adjList.AddEdge("V6", "V8"); adjList.AddEdge("V7", "V8"); // DFS遍历 adjList.DFSTraverse(); Console.WriteLine(); }
运行结果如下图所示：
三、广度优先搜索遍历
3.1 广度优先遍历原理
图的广度优先遍历算法是一个分层遍历的过程，和二叉树的广度优先遍历类似，其基本思想在于：从图中的某一个顶点Vi触发，访问此顶点后，依次访问Vi的各个为层访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发，直至图中所有顶点都被访问到。
对于上图所示的无向连通图，若从顶点V1开始，则广度优先遍历的顶点访问顺序是V1→V2→V3→V4→V5→V6→V7→V8。
3.2 广度优先遍历实现
（1）实现代码
/// <summary> /// 宽度优先遍历接口For连通图 /// </summary> public void BFSTraverse() { InitVisited(); // 首先初始化visited标志 BFS(items[0]); // 从第一个顶点开始遍历 } /// <summary> /// 宽度优先遍历算法 /// </summary> /// <param name="v">顶点</param> private void BFS(Vertex<T> v) { v.isVisited = true; // 首先将访问标志设为true标识为已访问 Console.Write(v.data.ToString() + " "); // 进行访问操作：这里是输出顶点data Queue<Vertex<T>> verQueue = new Queue<Vertex<T>>(); // 使用队列存储 verQueue.Enqueue(v); while (verQueue.Count > 0) { Vertex<T> w = verQueue.Dequeue(); Node node = w.firstEdge; // 访问此顶点的所有邻接节点 while (node != null) { // 如果邻接节点没有被访问过则访问它的边 if (node.adjvex.isVisited == false) { node.adjvex.isVisited = true; // 设置为已访问 Console.Write(node.adjvex.data + " "); // 访问 verQueue.Enqueue(node.adjvex); // 入队 } node = node.next; // 访问下一个邻接点 } } }
和树的层次遍历类似，借助了队列这一数据结构进行辅助，记录顶点的邻接点。
（2）遍历测试
这里构造的图如下所示，跟上面原理中的图一致：
测试代码如下所示：
static void MyAdjacencyListTraverseTest() { MyAdjacencyList<string> adjList = new MyAdjacencyList<string>(); // 添加顶点 adjList.AddVertex("V1"); adjList.AddVertex("V2"); adjList.AddVertex("V3"); adjList.AddVertex("V4"); adjList.AddVertex("V5"); adjList.AddVertex("V6"); adjList.AddVertex("V7"); adjList.AddVertex("V8"); // 添加边 adjList.AddEdge("V1", "V2"); adjList.AddEdge("V1", "V3"); adjList.AddEdge("V2", "V4"); adjList.AddEdge("V2", "V5"); adjList.AddEdge("V3", "V6"); adjList.AddEdge("V3", "V7"); adjList.AddEdge("V4", "V8"); adjList.AddEdge("V5", "V8"); adjList.AddEdge("V6", "V8"); adjList.AddEdge("V7", "V8"); Console.Write("广度优先遍历："); // BFS遍历 adjList.BFSTraverse(); Console.WriteLine(); }
运行结果如下图所示：
四、非连通图的遍历
以上讨论的图的两种遍历方法都是针对无向连通图的，它们都是从一个顶点触发就能访问到图中的所有顶点。若无方向图是非连通图，则只能访问到初始点所在连通分量中的所有顶点，其他分量中的顶点是无法访问到的。如下图所示，V6、V7以及V8三个顶点均访问不到。为此，需要从其他每个连通分量中选择初始点，分别进行遍历，才能够访问到图中的所有顶点。
4.1 非连通图的深度优先遍历实现
/// <summary> /// 深度优先遍历接口For非联通图 /// </summary> public void DFSTraverse4NUG() { InitVisited(); foreach (var v in items) { if (v.isVisited == false) { DFS(v); } } }
这里DFS方法跟上面无向连通图的保持一致。
4.2 非连通图的广度优先遍历实现
/// <summary> /// 广度优先遍历接口For非联通图 /// </summary> public void BFSTraverse4NUG() { InitVisited(); foreach (var v in items) { if (v.isVisited == false) { BFS(v); } } }
这里BFS方法跟上面无向连通图的保持一致。
4.3 非连通图的遍历测试
构造的图如上图所示，测试代码如下：
static void MyAdjacencyListTraverseTest() { Console.WriteLine("------------非连通图的遍历------------"); MyAdjacencyList<string> numAdjList = new MyAdjacencyList<string>(); // 添加顶点 numAdjList.AddVertex("V1"); numAdjList.AddVertex("V2"); numAdjList.AddVertex("V3"); numAdjList.AddVertex("V4"); numAdjList.AddVertex("V5"); numAdjList.AddVertex("V6"); numAdjList.AddVertex("V7"); numAdjList.AddVertex("V8"); // 添加边 numAdjList.AddEdge("V1", "V2"); numAdjList.AddEdge("V1", "V4"); numAdjList.AddEdge("V2", "V3"); numAdjList.AddEdge("V2", "V5"); numAdjList.AddEdge("V4", "V5"); numAdjList.AddEdge("V6", "V7"); numAdjList.AddEdge("V6", "V8"); Console.Write("深度优先遍历："); // DFS遍历 numAdjList.DFSTraverse4NUG(); Console.WriteLine(); Console.Write("广度优先遍历："); // BFS遍历 numAdjList.BFSTraverse4NUG(); }
运行结果如下图所示：
附件下载
本篇实现的图的遍历算法：code.datastructure.graph
参考资料
（1）程杰，《大话数据结构》
（2）陈广，《数据结构（C#语言描述）》
（3）段恩泽，《数据结构（C#语言版）》
