集训游记 7.19-7.20 图论

最小生成树 MST

P5994 [PA2014] Kuglarz

考虑连边 $i,j$ 表示花费代价知道区间 $[i,j)$ 的奇偶性．

容易发现 $i,j$ 联通就可以发现表示出 $[i,j)$．

考虑最终局面，一定要推出每个 $[i,i+1)$ 的奇偶性．要求每对 $[i,i+1)$ 联通．即整张图联通．

最小生成树

k条白边最小生成树

二分附加权．

注意最后的方案，MST 上可能存在代价为 $w$ 的若干条边可能是白边可能是黑边．不好判断．

考虑优先选白边．在白边数量 $\ge k$ 的时候记录二分答案．

• 合法答案存在于白边 $\ge k$ 的时候．
• 保证白边 $\ge k$ 的时候，附加权越大是一定能构造出合法答案．

树的重心

定义

• 到所有点的带权距离之和最小的点（定义一）
• 使得最大子树大小最小的点（定义二）

如何从定义一推出定义二呢？一个点若存在一个大小大于 ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ 的子树，朝那个子树走一定会使距离和变得更小．

性质

• 两个树相连，新重心在原来的两棵树重心的路径上．

无向图 DFS 树

从 $u$ 开始搜索，遇到没有访问过的点就当自己的儿子 $(1)$，并继续搜索．否则不管 $(2)$．

$(1)$ 叫做树边．
$(2)$ 叫做非树边（返祖边）．

无向图 DFS 树有一个很好的性质：一个点子树中的点互相没有边．

可以解决一些奇怪的题目．

[BZOJ4878]挑战NP-Hard

建出任一棵 DFS 树，若树深度 $>k$，解决 subtask 2；否则每层染不同的颜色，解决 subtask 1．

拓扑排序

最短路

严格次短路

结论：严格次短路上一定存在一条边，使得它不属于原来的 任何一条最短路．枚举次短的边是哪一条即可．
考虑最短路 DAG，若严格次短路经过的全部都是属于某一条最短路的边，它是最短路 DAG 的一条路径，它就是最短路！

换一种严谨的证明方式，记 $D_i$ 表示 $1\to i$ 的最短路长度．假设一条严格次短路 $Path$ 的所有边都存在于某一条最短路，则有 $\mathrm{\forall }e(u\to v,w)\in Path,D_v=D_u+w$．那么顺序考虑 $Path$ 中的每一个点，最后可以发现 ${\displaystyle \sum _{e\in Path}w=D_n}$．

01 BFS

和我 基础图论 中的内容不谋而和．

当然学到了一点奇技淫巧．比如若存在 $k$ 种边权，然后 $k$ 很小，存在一种很轻便的空间复杂度和最短路 最长长度相关 解题方式：维护堆可以桶排开 最长最短路长度 个 vector．然后每次遍历最短路长度最短的点即可．

同余最短路

比较神仙的．

优化完全背包判定．

给定数集 $S=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}$．每次需要判定一个数 $b$ 是否可以被若干 $S$ 中的元素的和表示出．每个元素可以使用多次．

将 $S$ 其中任一个元素 $a_i$ 拎出来，我们只需要知道在 $mod{a}_i$ 剩余系下每个剩余类最小被凑出来的数是多少即可．

其实我感觉根本不需要证明．看上去就十分正确！

我们选择 $S$ 中最小的数拎出来肯定最好（剩余系大小比较小）．

话说 Alex_Wei 是不是有一个同余最短路的转圈技巧，没学过．

优化构图

很多时候最短路模型存在边数为枚举点对数量级的构图方式（近似完全图），边数近似 $|V{|}^2$．

然后我们就需要 优化构图．

有两种一般的思路：

1. 存在可以被替代（被表达）的无用边．
   比如经典的切比雪夫距离模型：点对 $(i,j)$ 的距离为 $min(|x_i-x_j|,|y_i-y_j|)$．那么我们只需要按 $x$ 排序后顺序连接相邻的边，按 $y$ 排序连接相邻的边．因为若 $x_i,x_j$ 中间存在 $x_k$，那么距离 $|x_i-x_j|$ 可以被 $|x_i-x_k|+|x_k-x_j|$ 表示．对于 $y$ 同理．
   
   看似简单，实则有深意！有技巧！
   
   构造表达无用边的方式十分有趣．看一道例题：
   给定图 $G(V,E)$，除了原有边集 $E$ 以外，可以额外花费 $u\oplus v$ 的代价从 $u$ 走到 $v$．求 $1$ 到 $n$ 的最短路．
   
   我们考虑转化 $u\oplus v$ 的代价．其实可以看成 $u$ 反转若干二进制位的数字．对于一个数，我们不妨只考虑反转每一个二进制位的代价．那么 $u\to v$ 的代价可以表达成一条路径（先反转其中一位，然后得到新的数字，再反转另一位. . .）．

2. 从一个点出发的联边满足某种相同约束．
   比如 $u$ 向区间 $[l,r]$ 建边，可以使用线段树优化建边．
   据老师说一般数据结构（线段树，平衡树）优化构图无法维护 Lazy_Tag．

网络流

Dinic

复杂度：一般图 $O(V^{2}E)$，二分图 $O(V{E}^{\frac{1}{2}})$．

像 $NOI$ 这样的赛事网络流题目一定大概存在靠谱而保守的数据规模．用网络流水 $1e5$ 还是量力而行吧！

网络流优化构图

其实和一般建模的优化构图还是有些不一样的．一般考虑

• 度数为 $2$ 的点去掉
• 两个点之间重复的边优化成一条

问题杂技

HackerRank - Unique Colors

考虑对于每种颜色分开考虑．

对于每一种颜色，它会把整棵树分成若干个联通块：全部为颜色 $c$ 的和不含颜色 $c$ 的．

分开考虑：

• 对于颜色为 $c$ 的点，每一条经过它的路径都存在颜色 $c$．这样的路径一共有 $n$ 条．

• 对于颜色不是 $c$ 的点 $u$，考虑其不经过颜色 $c$ 的路径个数：要保证路径端点在同一个联通块中．那么从 $u$ 出发经过颜色 $c$ 的路径个数即 $n-\mathrm{联}\mathrm{通}\mathrm{块}\mathrm{大}\mathrm{小}$．

每一个点的答案可以这样算：

$$\begin{array}{rl}an{s}_u& =n+\sum _{c\ne c_u}n-|S_c(u\in S_c)|\\ & =n\ast numberofcol+\sum _{c\ne c_u}|S_c(u\in S_c)|\end{array}$$

树上差分即可．