FFT 学习笔记

$FastFuristTransformation$：快速傅立叶变换
——快速求两个多项式的乘积

多项式的点表示法

多项式的性质：用任意$n+1$个函数上的不同点均可唯一确定一个多项式。

证明：方程组为一个$Vandermonder$行列式，矩阵满秩有唯一解。

当我们需要多项式 $A$ 与多项式 $B$ 的积 $C$ 的时候，我们只要在 $A$ 和 $B$ 中取 $(n+m+1)$ 个点然后直接相乘就可以得到 $C$ 的点表示法，这个复杂度就是 $O(n+m+1)$ 。

复数单位根

将复数域上的单位圆等分成 $n$ 份，每一份叫做 $n$次单位根。

离散傅立叶正变换

$DFT$ —— 将系数表示的多项数变为点表示的多项式。

$$d_k=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{w}_n^{ik}$$

将多项式的奇偶次数分类，变化 $x\to x^2$ ，利用复数单位根上的性质作变换后发现，多项式可以由两个 $\frac{n}{2}$ 长度的多项式得到。然后递归求解的复杂度是 $O(nlogn)$ 。

离散傅立叶逆变换

$IDFT$ —— 当已知点表示法的一个多项式，得到该多项式系数表示法。

$$a_k=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{d}_i{w}_n^{-ki}$$

推导如下：即 $C_k$（积多项式的第 $k$ 项的系数）为 $\sum A_i{w}_n^k{(w_n^{-k})}^i$。可得 $C_k=n\ast a_k$ ，因为别的项系数都为 $0$ ，只有 $k=0$ 这一项系数为 $n$ 。


然后我们使用 $FFT$ 优化式子可得：

$$a_k=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n}B(w_n^{n-k})$$

这里我们注意到，比较正逆变化的式子只有 $w_n^k$ 这个 $k$ 的系数不同，所以几乎是一样的（还有就是多了个系数 $n$）。

struct comp{
    double r,i;
    comp(double _r=0,double _i=0){r=_r;i=_i;}
    comp operator+ (const comp x){return comp(r+x.r,i+x.i);}
    comp operator- (const comp x){return comp(r-x.r,i-x.i);}
    comp operator* (const comp x){return comp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}a[N],b[N];
const double pi=acos(-1.0); 
void FFT(comp a[],int n,int t){
    for(int i=1,j=0;i<n-1;i++){ 
        for(int s=n;j^=s>>=1,~j&s;); 
        if(i<j)swap(a[i],a[j]);
    }
    for(int d=0;(1<<d)<n;d++){
        int m=1<<d,m2=m<<1;
        double o=pi/m*t;
        comp _w(cos(o),sin(o)); 
        for(int i=0;i<n;i+=m2){
            comp w(1,0);
            for(int j=0;j<m;j++){
                comp &A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=w*A;
                A=B-t;B=B+t;w=w*_w; 
            }
        } 
    }
    if(t==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i].r/=n; 
}
int bit=0;
while((1<<bit)<n+m+1)bit++;
bit=(1<<bit);
for(int i=0;i<=n+m;i++){
    cout<<(int)(a[i].r+0.5)<<' ';
}