Catalan Numbers

卡特兰数是组合数学中一个常出现于各种计数问题中的数列。以中国蒙古族数学家明安图和比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名.

前 $10$ 项为：$1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862$

公式

$tip:$ 在 $n=17$ 时 $Catalan$ 数就会超过 $int$ 范围。

出栈问题

一个栈的入栈顺序为 $1,2,3,\dots ,n$ 时，出栈顺序有多少种?

栈中每个元素需要经历入栈出栈，所以会有 $2n$ 个操作，记入栈为 $+1$ ，出栈为 $-1$ ，那么每个合法操作顺序每个前缀和必须 $\ge 0$ 。如果直接求显然不方便，那么正难则反。如果当前 $n$ 非法，那么需要在所有的 $C_{2n}^n$ 情况中，去掉 $C_{2n}^{n+1}$ 个非法序列（因为非法序列相当于在 $n+1$ 个位置放置 $-1$ ，在 $n-1$ 个位置放置 $+1$ ）。$C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$ 此时就得到了 $Catalan$ 数。

括号问题

$n$ 对括号能构成多少种合法序列？

很显然与出栈问题相同，答案就是 $Catalan$ 数。

满二叉树问题

$n+1$ 个节点可以构成多少种满二叉树？

对于每个节点要么子节点为空，要么同时存在两个节点，如果把左儿子看作 $+1$ ， 右儿子看作 $-1$ ，那么又与出栈问题相同。

凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数 $n$，求不同划分的方案数 $f(n)$。比如当 $n=6$ 时，$f(6)=14$。