微积分重点:第十课至十三课
1.极限
窄带思维:过了某个特定的点后,数列总落在以A为中心的很小缝隙内,再也不出来,而不管缝隙多窄
无穷大: 数列总超过1/ε
无穷小;A = 0的情况
极限运算的特殊情况(危机):
∞-∞
0·∞
0/0 (洛比达法则 该比值等于导数比) 或 ∞/∞
00 或 1∞
连续与可导
连续意味着当x趋向a时,f(x)趋向于f(a),比可导弱
例如 sin(1/x) 在x=0处不连续,但xsin(1/x) 在x=0处连续
2.逆函数
它是两个函数之间的另一种关系
对数运算的法则
逆函数的求导,因为逆函数存在链式 f-1(f(x)) = x,运用链式求导法则
可以得到 (df-1/df) ·(df/df-1) = 1 二者互为倒数
证明 dlnX/dx =1/x
在幂函数求导法则中 ,没有任何幂函数求导能得到-1次方,而它在这里
为什么lnX增长缓慢,因为它的斜率等于1/x
arcsin的导数 1/ √(1-x2)
arccos的导数 -1/ √(1-x2)
二者相加等于0,这表明arcsin+arccos是常数,因为这是两个角度,互余
3.对数尺度:
让大数间距变小,小数间距变大,更易处理
在对数尺度上,依次乘以相同的数才是等距
在对数-对数图上,幂增长变成了线性增长,就很容易看出斜率的不同
在对数-x 图(半对数)上,指数增长变成了线性增长