三维刚体旋转之四元数

先来了解一下四元数的基本概念。

一、复数的概念

高中数学中有说到复数的概念，什么是复数呢？

百度百科奉上：https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%8D%E6%95%B0/254365?fr=aladdin

基本上你只需要了解，复数这玩意儿长这样：

　　z = a + bi

a，b是实数，i² = -1，a 是复数 z 的实部，bi 是复数 z 的虚部。

二、四元数是什么

四元数是一种高阶复数，他长这样：

q = (x,y,z,w) = xi + yj + zk +w；

其中：

i² = j² = k² = −1；

ijk = -1；

我们可以对上述所提到的四元数q作如下改写：

q = ((x,y,z),w) = (v⃗ + w)；

这样一来，四元数可以看做是一个三维向量 v⃗ 和齐次坐标系下的 w 分量；

三、四元数运算

假定两个四元数 q1、q2：

* 四元数乘法

　　q1q2 = (v₁ × v₂ + w₁v₂ + w₂v₁ , w₁w₂ − v₁⋅v₂)

* 共轭四元数（三维向量方向取反）

　　q^∗ = (−v ,w)

* 四元数的平方模（三维向量的模 + w分量的平方）

　　N(q) = N(v⃗ ) + w²

* 四元数的逆（共轭四元数除以模）

　　q⁻¹ = q^∗ / N(q)

 

四、四元数实现旋转