PCA
一，引言
降维是对数据高维度特征的一种预处理方法。降维是将高维度的数据保留下最重要的一些特征，去除噪声和不重要的特征，从而实现提升数据处理速度的目的。在实际的生产和应用中，降维在一定的信息损失范围内，可以为我们节省大量的时间和成本。降维也成为了应用非常广泛的数据预处理方法。
降维具有如下一些优点：
（1）使得数据集更易使用
（2）降低算法的计算开销
（3）去除噪声
（4）使得结果容易理解
PCA(principal Component Analysis)，即主成分分析方法，是一种使用最广泛的数据压缩算法。在PCA中，数据从原来的坐标系转换到新的坐标系，由数据本身决定。转换坐标系时，以方差最大的方向作为坐标轴方向，因为数据的最大方差给出了数据的最重要的信息。第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方法，第二个新坐标轴选择的是与第一个新坐标轴正交且方差次大的方向。重复该过程，重复次数为原始数据的特征维数。
通过这种方式获得的新的坐标系，我们发现，大部分方差都包含在前面几个坐标轴中，后面的坐标轴所含的方差几乎为0,。于是，我们可以忽略余下的坐标轴，只保留前面的几个含有绝不部分方差的坐标轴。事实上，这样也就相当于只保留包含绝大部分方差的维度特征，而忽略包含方差几乎为0的特征维度，也就实现了对数据特征的降维处理。
那么，我们如何得到这些包含最大差异性的主成分方向呢？事实上，通过计算数据矩阵的协方差矩阵，然后得到协方差矩阵的特征值及特征向量，选择特征值最大（也即包含方差最大）的N个特征所对应的特征向量组成的矩阵，我们就可以将数据矩阵转换到新的空间当中，实现数据特征的降维（N维）。
既然，说到了协方差矩阵，那么这里就简单说一下方差和协方差之间的关系，首先看一下均值，方差和协方差的计算公式：
由上面的公式，我们可以得到一下两点区别：
（1）方差的计算公式，我们知道方差的计算是针对一维特征，即针对同一特征不同样本的取值来进行计算得到；而协方差则必须要求至少满足二维特征。可以说方差就是协方差的特殊情况。
（2）方差和协方差的除数是n-1，这样是为了得到方差和协方差的无偏估计。具体推导过程可以参见博文：http://blog.csdn.net/maoersong/article/details/21823397
二，PCA算法实现
将数据转换为只保留前N个主成分的特征空间的伪代码如下所示：
去除平均值 计算协方差矩阵 计算协方差矩阵的特征值和特征向量 将特征值排序 保留前N个最大的特征值对应的特征向量 将数据转换到上面得到的N个特征向量构建的新空间中（实现了特征压缩）
具体的代码为：
#导入numpy库
from numpy import *
#解析文本数据函数
#@filename 文件名txt
#@delim 每一行不同特征数据之间的分隔方式，默认是tab键'\t'
def loadDataSet(filename,delim='\t')
#打开文本文件
fr=open(filename)
#对文本中每一行的特征分隔开来，存入列表中，作为列表的某一行
#行中的每一列对应各个分隔开的特征
stringArr=[line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]
#利用map()函数，将列表中每一行的数据值映射为float型
datArr=[map(float.line)for line in stringArr]
#将float型数据值的列表转化为矩阵返回
return mat(datArr)
#pca特征维度压缩函数
#@dataMat 数据集矩阵
#@topNfeat 需要保留的特征维度，即要压缩成的维度数，默认4096
def pca(dataMat,topNfeat=4096):
#求数据矩阵每一列的均值
meanVals=mean(dataMat,axis=0)
#数据矩阵每一列特征减去该列的特征均值
meanRemoved=dataMat-meanVals
#计算协方差矩阵，除数n-1是为了得到协方差的无偏估计
#cov(X,0) = cov(X) 除数是n-1(n为样本个数)
#cov(X,1) 除数是n
covMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)
#计算协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
#均保存在相应的矩阵中
eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(conMat))
#sort():对特征值矩阵排序(由小到大)
#argsort():对特征值矩阵进行由小到大排序，返回对应排序后的索引
eigValInd=argsort(eigVals)
#从排序后的矩阵最后一个开始自下而上选取最大的N个特征值，返回其对应的索引
eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
#将特征值最大的N个特征值对应索引的特征向量提取出来，组成压缩矩阵
redEigVects=eigVects[:,eigValInd]
#将去除均值后的数据矩阵*压缩矩阵，转换到新的空间，使维度降低为N
lowDDataMat=meanRemoved*redEigVects
#利用降维后的矩阵反构出原数据矩阵(用作测试，可跟未压缩的原矩阵比对)
reconMat=(lowDDataMat*redEigVects.T)+meanVals
#返回压缩后的数据矩阵即该矩阵反构出原始数据矩阵
return lowDDataMat,reconMat
上述降维过程，首先根据数据矩阵的协方差的特征值和特征向量，得到最大的N个特征值对应的特征向量组成的矩阵，可以称之为压缩矩阵；得到了压缩矩阵之后，将去均值的数据矩阵乘以压缩矩阵，就实现了将原始数据特征转化为新的空间特征，进而使数据特征得到了压缩处理。
当然，我们也可以根据压缩矩阵和特征均值，反构得到原始数据矩阵，通过这样的方式可以用于调试和验证。
下图是通过matplotlib将原始数据点（三角形点）和第一主成分点（圆形点）绘制出来的结果。显然，第一主成分点占据着数据最重要的信息。
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(lll)
#三角形表示原始数据点
ax.scatter(dataMat[:,0].flatten().A[0],dataMat[:,1].flatten().A[0],\
marker='^',s=90)
#圆形点表示第一主成分点，点颜色为红色
ax.scatter(reconMat[:,0].flatten().A[0],reconMat[:,1].flatten().A[0]\, marker='o',s=90,c='red')
三，示例：PCA对半导体数据进行降维
我们知道，像集成电路这样的半导体，成本非常昂贵。如果能在制造过程中尽早和尽快地检测出是否出现瑕疵，将可能为企业节省大量的成本和时间。那么，我们在面对大规模和高维度数据集时，显然计算损耗会很大，无疑会非常耗时。所以，如果利用PCA等降维技术将高维的数据特征进行降维处理，保留那些最重要的数据特征，舍弃那些可以忽略的特征，将大大加快我们的数据处理速度和计算损耗，为企业节省不小的时间和成本。
1 数据缺失值的问题
显然，数据集中可能会包含很多缺失值，这些缺失值是以NaN进行标识的。那么如何对待这些缺失值呢？如果存在大量的样本存在缺失值，显然选择将这些有缺失值得样本丢弃不可取；此外，由于并不知道这些值的意义，选择将缺失值替换为0也不是一个很好的决定。所以，这里我们选择将数据集中的特征缺失值，用数据集中该维度所有非NaN特征的均值进行替换。相比之下，采用均值替换的方法在这里是一个相对较好的选择。
#缺失值处理函数
def replaceNaNWithMean():
#解析数据
datMat=loadDataSet('secom.data',' ')
#获取特征维度
numFeat=shape(datMat)[1]
#遍历数据集每一个维度
for i in range(numFeat):
#利用该维度所有非NaN特征求取均值
meanVal=mean(datMat[nonzero(~isnan(datMat[:,i].A))[0],i])
#将该维度中所有NaN特征全部用均值替换
datMat[nonzero(isnan(datMat[:,i].A))[0],i]=meanVal
return datMat
这样，我们就去除了所有NaN特征，接下来就可以对数据集利用PCA算法进行降维处理了。
2 PCA降维
那么我们如果确定需要保留哪些重要特征呢？PCA函数可以给出数据所包含的信息量，然后通过定量的计算数据中所包含的信息决定出保留特征的比例。下面是具体代码：
dataMat=pca.replaceNanWithMean() meanVals=mean(dataMat,axis=0) meanRemoved=dataMat-meanVals conMat=cov(meanRemoved,rowvar=0) eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(covMat))
从上面的特征值结果，我们可以看到如下几个重要信息：
（1）里面有很多值都是0，这意味着这些特征都是其他特征的副本，都可以通过其他特征来表示，其本身没有提供额外的信息。
（2）可以看到最前面的15个特征值得数量级都大于105，而后面的特征值都变得非常小。这表明，所有特征中只有部分特征是重要特征。
下图示出了数据集前20个主成分占总方差的百分比：
可以看出，数据的绝大部分方差都包含在前面的几个主成分中，舍弃后面的主成分并不会损失太多的信息。如果只保留前面几个最重要的主成分，那么在保留了绝大部分信息的基础上，可以将数据集特征压缩到一个非常低的程度，显然大大提高了计算效率。
下表是数据集前20个主成分所占的总方差百分比，以及累计方差百分比：
由上表可以看出，前六个主成分覆盖了数据96.8%的方差，前二十个主成分覆盖了99.3%的方差。这表明，通过特征值分析，我们可以确定出需要保留的主成分及其个数，在数据集整体信息（总方差）损失很小的情况下，我们可以实现数据的大幅度降维。
一旦，通过特征值分析知道了需要保留的主成分个数，那么我们就可以通过pca函数，设定合适的N值，使得函数最终将数据特征降低到最佳的维度。
四，总结
（1）降维是一种数据集预处理技术，往往在数据应用在其他算法之前使用，它可以去除掉数据的一些冗余信息和噪声，使数据变得更加简单高效，提高其他机器学习任务的计算效率。
（2）pca可以从数据中识别主要特征，通过将数据坐标轴旋转到数据角度上那些最重要的方向（方差最大）；然后通过特征值分析，确定出需要保留的主成分个数，舍弃其他主成分，从而实现数据的降维。
