数论--组合数

如果只是求一个组合数，当然可以直接用这个公式，用循环来实现，注意不要溢出，可以边乘边除

但是如果要求求很多个组合数呢？？

一般我们用杨辉三角性质

杨辉三角上的每一个数字都等于它的左上方和右上方的和（除了边界）

 

第n行，第m个就是，就是C(n, m) （从0开始）

容易实现：

#include<cstdio>
const int N = 2000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
void init(){
    for(int i = 0; i < N; i ++){
        comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j ++){
            comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
            comb[i][j] %= MOD;
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

时间复杂度为O(n^2)

 

因为大部分题都有求余，所以我们大可利用逆元的原理（没求余的题目，其实你也可以把MOD自己开的大一点，这样一样可以用逆元做）（逆元还记得吧，前面提到的！！！）

我们需要求阶乘和逆元阶乘

 我们就用1e9+7来求余吧

#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int F[N], Finv[N], inv[N];    //F是阶乘，Finv是逆元的阶乘 
void init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;   //求逆元 
    }
    F[0] = Finv[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i ++){
        F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
        Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
    }
}
int comb(int n, int m){    //comb(n, m)就是C(n, m) 
    if(m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
}
int main(){
    init();
    printf("%d\n",comb(5,2)); 
}

 

看一个性质

C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!);

C(n,k-1)=n!/((k-1)!*(n-k+1)!);

那么，C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k

所以C(n,k)=(n-k+1)/k*C(n,k-1);

这样，就可以从C（n,0）=1开始从左往右推，得到所有C（n,k）

当碰到大组合数的时候，就要用到这个性质了！

 

卢卡斯说：

C(n, m) % p  =  C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p

对于C(n / p, m / p)，如果n / p 还是很大，可以递归下去，一直到世界的尽头

这就是卢卡斯定理！

在下卢卡斯...

 

上代码：

#include<cstdio>

typedef long long LL ;
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int F[N], Finv[N], inv[N];    //F是阶乘，Finv是逆元的阶乘 
void init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;   //求逆元 
    }
    F[0] = Finv[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i ++){
        F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
        Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
    }
}
int comb(int n, int m){    //comb(n, m)就是C(n, m) 
    if(m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
}

LL Lucas(LL n, LL m, int p){
    return m ? Lucas(n/p, m/p, p) * comb(n%p, m%p) % p : 1;
}
int main(){
    init();
    printf("%lld\n",Lucas(5,2,8)); //C(5，2)%8
}

Over..