CF1777D Score of a Tree 题解

题目简述

给你一个 $n$ 个结点根为 $1$ 的树。在 $t=0$ 时，每个结点都有一个值，为 $0$ 或 $1$。

在每一个 $t>0$ 时，每个结点的值都会变成其子结点在 $t-1$ 时的值的异或和。

定义 $S(t)$ 为 $t$ 时所有结点值的和。

定义 $F(A)$ 为树在 $0\le t\le {10}^{100}$ 中所有 $S(t)$ 的和。其中 $A$ 为树在时刻 $0$ 时每个结点的值。

求所有 $2^n$ 个 $F(A)$ 的和。

思路

引理

引理：设 $d_i$ 为第 $i$ 个结点与其子树中结点距离的最大值。如果 $d_i>t$ 则该结点在 $t$ 时刻的值为 $0$ 。如果 $d_i\le t$ 则该结点在 $t$ 时刻是 $1$ 的几率为 $50\mathrm{\%}$ 。

归纳证明：

在 $t=0$ 时成立。

假设在 $t=k$ 时成立。

则在 $t=k+1$ 时：

1.如果结点 $i$ 的任意一子结点 $u,d_u>k$ 。

$\because d_i=max\{d_u\}+1$

$\therefore d_i>k+1$

2.如果结点 $i$ 的子结点在 $t=k$ 时有 $j$ 个结点有 $d_u\le k$ 。

所以一共有 $2^j$ 种选取方法。异或和为 $1$ 的方案数为 $C_j^1+C_j^3+C_j^5+\cdots$ 。

$\because C_j^1+C_j^3+C_j^5+\cdots$

$=C_{j-1}^0+C_{j-1}^1+C_{j-1}^2+C_{j-1}^3+C_{j-1}^4+C_{j-1}^5+\cdots +C_{j-1}^{j-1}$(若 $j$ 为奇数， $C_{j-1}^j=0$ )

$=2^{j-1}$

$=2^j\times 50\mathrm{\%}$

$\therefore$ 此时结点 $i$ 为 $1$ 的概率为 $50\mathrm{\%}$ 。

证毕

由于 $d_i\le n\le 2\times {10}^5\le {10}^{100}$ 。

由于 $t$ 值很大，所以最后所有结点的值均为 $0$ 。

根据引理，每个结点对答案的贡献即为 $2^{n-1}\times (d_i+1)$ 。

所以用 DFS 来求 $d_i$ 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 2E5 + 5, M = 1E9 + 7;
int n, t;
int u, v;
long long tmp = 0; 
vector<int> G[N];
long long dfs(int u, int f) {
	long long ans = 1;
	for (int v : G[u]) {
		if (v == f) continue;
		ans = max(ans, dfs(v, u) + 1);
	}
	tmp += ans;
	tmp %= M;
	return ans;
}
int main()
{
	cin >> t;
	while (t--) {
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i++) G[i].clear();
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			cin >> u >> v;
			G[u].push_back(v);
			G[v].push_back(u);
		}
		long long ans = 1;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			ans *= 2;
			ans %= M;
		}
		tmp = 0;
		dfs(1, 0);
		ans = ans * tmp;
		ans %= M;
		cout << ans << ' ';
	}
}