机器学习实战 第五章 罗辑回归 的 代价函数推导
(很多讲逻辑回归的文章都没有给出详细的推导，只是列出最后的计算公式，今天在网上看到一篇解释得非常详细的文章，赶紧转载一下：
【机器学习笔记1】Logistic回归总结(http://blog.csdn.net/dongtingzhizi/article/details/15962797)
作者说"未经允许，不得转载"，我这里先冒犯了，如果觉得不合适，请告知。
)
不得不说，机器学习实战中很多内容都非常简略的带过了，有不少都没讲。如果不自己查资料学习的话，就变成敲一边代码，看个运行结果了。
Logistic回归总结
作者：洞庭之子
微博：洞庭之子-Bing
（2013年11月）
PDF下载地址：http://download.csdn.net/detail/lewsn2008/6547463
1.引言
看了Stanford的Andrew Ng老师的机器学习公开课中关于Logistic Regression的讲解，然后又看了《机器学习实战》中的LogisticRegression部分，写下此篇学习笔记总结一下。
首先说一下我的感受，《机器学习实战》一书在介绍原理的同时将全部的算法用源代码实现，非常具有操作性，可以加深对算法的理解，但是美中不足的是在原理上介绍的比较粗略，很多细节没有具体介绍。所以，对于没有基础的朋友（包括我）某些地方可能看的一头雾水，需要查阅相关资料进行了解。所以说，该书还是比较适合有基础的朋友。
本文主要介绍以下三个方面的内容：
（1）Logistic Regression的基本原理，分布在第二章中；
（2）Logistic Regression的具体过程，包括：选取预测函数，求解Cost函数和J(θ)，梯度下降法求J(θ)的最小值，以及递归下降过程的向量化（vectorization），分布在第三章中；
（3）对《机器学习实战》中给出的实现代码进行了分析，对阅读该书LogisticRegression部分遇到的疑惑进行了解释。没有基础的朋友在阅读该书的Logistic Regression部分时可能会觉得一头雾水，书中给出的代码很简单，但是怎么也跟书中介绍的理论联系不起来。也会有很多的疑问，比如：一般都是用梯度下降法求损失函数的最小值，为何这里用梯度上升法呢？书中说用梯度上升发，为何代码实现时没见到求梯度的代码呢？这些问题在第三章和第四章中都会得到解答。
文中参考或引用内容的出处列在最后的“参考文献”中。文中所阐述的内容仅仅是我个人的理解，如有错误或疏漏，欢迎大家批评指正。下面进入正题。
2. 基本原理
Logistic Regression和Linear Regression的原理是相似的，按照我自己的理解，可以简单的描述为这样的过程：
（1）找一个合适的预测函数（Andrew Ng的公开课中称为hypothesis），一般表示为h函数，该函数就是我们需要找的分类函数，它用来预测输入数据的判断结果。这个过程时非常关键的，需要对数据有一定的了解或分析，知道或者猜测预测函数的“大概”形式，比如是线性函数还是非线性函数。
（2）构造一个Cost函数（损失函数），该函数表示预测的输出（h）与训练数据类别（y）之间的偏差，可以是二者之间的差（h-y）或者是其他的形式。综合考虑所有训练数据的“损失”，将Cost求和或者求平均，记为J(θ)函数，表示所有训练数据预测值与实际类别的偏差。
（3）显然，J(θ)函数的值越小表示预测函数越准确（即h函数越准确），所以这一步需要做的是找到J(θ)函数的最小值。找函数的最小值有不同的方法，Logistic Regression实现时有的是梯度下降法（Gradient Descent）。
3. 具体过程
3.1 构造预测函数
Logistic Regression虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，用于两分类问题（即输出只有两种）。根据第二章中的步骤，需要先找到一个预测函数（h），显然，该函数的输出必须是两个值（分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：
对应的函数图像是一个取值在0和1之间的S型曲线（图1）。
图1
接下来需要确定数据划分的边界类型，对于图2和图3中的两种数据分布，显然图2需要一个线性的边界，而图3需要一个非线性的边界。接下来我们只讨论线性边界的情况。
图2
图3
对于线性边界的情况，边界形式如下：
构造预测函数为：
hθ(x)函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：
3.2 构造Cost函数
Andrew Ng在课程中直接给出了Cost函数及J(θ)函数如式（5）和（6），但是并没有给出具体的解释，只是说明了这个函数来衡量h函数预测的好坏是合理的。
实际上这里的Cost函数和J(θ)函数是基于最大似然估计推导得到的。下面详细说明推导的过程。（4）式综合起来可以写成：
取似然函数为：
对数似然函数为：
最大似然估计就是要求得使l(θ)取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。但是，在Andrew Ng的课程中将J(θ)取为（6）式，即：
因为乘了一个负的系数-1/m，所以J(θ)取最小值时的θ为要求的最佳参数。
3.3 梯度下降法求J(θ)的最小值
求J(θ)的最小值可以使用梯度下降法，根据梯度下降法可得θ的更新过程：
式中为α学习步长，下面来求偏导：
上式求解过程中用到如下的公式：
因此，（11）式的更新过程可以写成：
因为式中α本来为一常量，所以1/m一般将省略，所以最终的θ更新过程为：
另外，补充一下，3.2节中提到求得l(θ)取最大值时的θ也是一样的，用梯度上升法求（9）式的最大值，可得：
观察上式发现跟（14）是一样的，所以，采用梯度上升发和梯度下降法是完全一样的，这也是《机器学习实战》中采用梯度上升法的原因。
3.4 梯度下降过程向量化
关于θ更新过程的vectorization，Andrew Ng的课程中只是一带而过，没有具体的讲解。
《机器学习实战》连Cost函数及求梯度等都没有说明，所以更不可能说明vectorization了。但是，其中给出的实现代码确是实现了vectorization的，图4所示代码的32行中weights（也就是θ）的更新只用了一行代码，直接通过矩阵或者向量计算更新，没有用for循环，说明确实实现了vectorization，具体代码下一章分析。
文献[3]中也提到了vectorization，但是也是比较粗略，很简单的给出vectorization的结果为：
且不论该更新公式正确与否，这里的Σ(...)是一个求和的过程，显然需要一个for语句循环m次，所以根本没有完全的实现vectorization，不像《机器学习实战》的代码中一条语句就可以完成θ的更新。
下面说明一下我理解《机器学习实战》中代码实现的vectorization过程。
约定训练数据的矩阵形式如下，x的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特称取值：
约定待求的参数θ的矩阵形式为：
先求x.θ并记为A：
求hθ(x)-y并记为E：
g(A)的参数A为一列向量，所以实现g函数时要支持列向量作为参数，并返回列向量。由上式可知hθ(x)-y可以由g(A)-y一次计算求得。
再来看一下（15）式的θ更新过程，当j=0时：
同样的可以写出θj，
综合起来就是：
综上所述，vectorization后θ更新的步骤如下：
（1）求A=x.θ；
（2）求E=g(A)-y；
（3）求θ:=θ-α.x'.E,x'表示矩阵x的转置。
也可以综合起来写成：
前面已经提到过：1/m是可以省略的。
4. 代码分析
图4中是《机器学习实战》中给出的部分实现代码。
图4
sigmoid函数就是前文中的g(z)函数，参数inX可以是向量，因为程序中使用了Python的numpy。
gradAscent函数是梯度上升的实现函数，参数dataMatin和classLabels为训练数据，23和24行对训练数据做了处理，转换成numpy的矩阵类型，同时将横向量的classlabels转换成列向量labelMat，此时的dataMatrix和labelMat就是（18）式中的x和y。alpha为学习步长，maxCycles为迭代次数。weights为n维（等于x的列数）列向量，就是（19）式中的θ。
29行的for循环将更新θ的过程迭代maxCycles次，每循环一次更新一次。对比3.4节最后总结的向量化的θ更新步骤，30行相当于求了A=x.θ和g(A)，31行相当于求了E=g(A)-y，32行相当于求θ:=θ-α.x'.E。所以这三行代码实际上与向量化的θ更新步骤是完全一致的。
总结一下，从上面代码分析可以看出，虽然只有十多行的代码，但是里面却隐含了太多的细节，如果没有相关基础确实是非常难以理解的。相信完整的阅读了本文，就应该没有问题了！^_^。
【参考文献】
[1]《机器学习实战》——【美】Peter Harington
[2] Stanford机器学习公开课（https://www.coursera.org/course/ml）
[3] http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7716281
[4] http://www.cnblogs.com/tornadomeet/p/3395593.html
[5] http://blog.csdn.net/moodytong/article/details/9731283
[6] http://blog.csdn.net/jackie_zhu/article/details/8895270
