EXGCD 算法 / 二元一次不定方程 学习笔记

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是一种用于求出形如 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的二元一次不定方程的一组特解的算法。

根据辗转相除法，有

$$\begin{aligned} ax+by=&\gcd(a,b)\\ =&\gcd(b,a\bmod b)\\ =&\gcd\left(b,a-\left\lfloor\frac ab\right\rfloor b\right) \end{aligned}$$

假设我们已经求出了 $bx+\left(a-\left\lfloor\frac ab\right\rfloor b\right)y=\gcd\left(b,a-\left\lfloor\frac ab\right\rfloor b\right)$ 的一组特解 $x_0, y_0$，那么就有

$$\begin{aligned} ax+by=&bx_0+\left(a-\left\lfloor\frac ab\right\rfloor b\right)y_0\\ =&ay_0+b\left(x_0-\left\lfloor\frac ab\right\rfloor y_0\right) \end{aligned}$$

那么 $x=y_0,y=\left(x_0-\left\lfloor\frac ab\right\rfloor y_0\right)$ 便是满足条件的一组特解。

边界条件不难想。

裴蜀定理

若 $a,b$ 是整数，且 $\gcd(a,b)=d$，那么对于任意的整数 $x,y$，$ax+by$ 都一定是 $d$ 的倍数，特别地，一定存在整数 $x,y$，使 $ax+by=d$ 成立。 ——百度百科

也就是说二元一次不定方程 $ax+by=c$ 有解的充要条件是 $\gcd(a,b)|c$。

解二元一次不定方程

对于一个二元一次不定方程 $ax+by=c$，根据裴蜀定理可以先判除无解的情况。否则可以利用 EXGCD 求出其一组特解。

利用 EXGCD，我们可以求出 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组特解 $x',y'$，然后得到 $ax+by=c$ 的一组特解 $x_0=x'\cdot\frac c{\gcd(a,b)},y_0=y'\cdot\frac c{\gcd(a,b)}$。

然后就可以通过这一对特解来构造通解。通解一定满足 $x=x_0+kbd,y=y_0+kad$ 的形式。我们需要令 $d$ 最小，且满足 $ad$ 和 $bd$ 均为整数。那么 d 就可以取 $\frac1{\gcd(a,b)}$。这样我们就构造出了方程 $ax+by=c$ 的通解。

求逆元

求 $a$ 在模 $p$ 意义下的乘法逆元（要求 $a$ 与 $p$ 互质）。

即求 $ax\equiv 1\pmod p$ 的最小正整数解。将同余方程转化为 $ax+py=1$，然后取所有解中最小的正整数 $x$（即求出方程的一组特解 $x_0,y_0$，取 $x_0$ 对 $p$ 取模后的结果）。