信号与系统学习笔记——连续系统的时域分析

    信号与系统

                                                 信号——>系统——>响应

      信号、系统以及响应三者贯穿信号与系统整本书。

     信号涉及的概念十分广泛，人与外部世界不断地交换信息，在信息传递中，随着参数变化的物理量即可定义为信号。因此，信号是信息的具体表现形式，信息是信号的具体内容，互为表里。根据信号的静态特性，可分为确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号等；信号的动态特性，信号运算中包括，信号时移、反折与尺度变换；基本的典型信号，分两大类，一类：斜变信号、阶跃信号、冲激信号以及冲激偶信号；二类：正弦余弦信号、指数信号以及复指数信号。其中，冲激函数尤为重要，其特性主要包括三类，广义函数定义特性、抽样特性以及尺度变换特性。

     系统主要分为连续系统与离散系统，它们分别使用微分方程与差分方程描述，其系统函数主要为时域与变换域（频域、复频域、z域等）。系统有三大基本特性，线性系统、时不变系统以及因果系统，当然还包括其他很多特性，如稳定性、可逆性、记忆性等。一般我们的研究领域，属于线性时不变系统。

     LTI系统的响应，从经典解的角度出发，（1）齐次解，代表系统的自身特性；（2）特解，取决于外加激励信号；（3）初始条件，代表整个系统的初始状态。因此，系统的输出响应，由系统的自身特性，激励信号以及系统初始状态共同决定。从卷积解的角度触发，LTI系统响应分为零输入响应与零状态响应。此处，冲激响应的概念引入，尤为重要，它架构起了卷积积分与零状态响应的桥梁。

   连续系统的时域分析

      系统的时域分析中，有经典法与卷积法。经典法便于理解，但是在求特解步骤，由于数学常规求特解的局限性，不具通用。因此，卷积法才是我们要研究的重点。在卷积法的时域分析中，冲激信号与阶跃信号占据着核心地位。任何复杂的连续信号，都可以看成由无数个冲激信号或者阶跃信号叠加而成，从而引出了著名的卷积公式。

       卷积公式的外在形式，不过是一个以t为自变量，以τ 为积分变量的广义积分；而其本质代表着一个以t为自变量的复杂信号的分解形式。而此时，想引入卷积公式来求解TLI系统的响应。因此，将输入信号分解无数个冲激信号的叠加，将卷积公式中的冲激函数变换成冲激响应，求解卷积积分后，便可以求得最终系统的响应。但此时出现了两个问题，便是冲激响应的求解与卷积积分的求解。经我计算经验所得，冲激响应必须为零状态响应（此时f^(n-1)(0₊)=1,其余项f(0₊)=0），冲激响应才会为正常状态。即信号与系统引入了冲激响应的定义，系统在单位冲激信号激励下产生的零状态响应。因此，从卷积解的角度，将TLI系统响应分为了零输入响应与零状态响应。引入冲激响应，联系卷积积分求解零状态响应。

     由此可见，卷积公式外在朴实无华，其实质有两大特性，其一代表一个复杂信号的分解形式，其二通过冲激响应可以求解一个TLI系统中的零状态响应。

     冲激响应的计算步骤：

   （1）引入一个单位冲激输入的方程，求得单位冲激输入零状态响应h₁(t)；

   （2）将h₁(t)与微分方程右边方程式（冲激输入）作卷积得到冲激响应h(t)。

    卷积积分的计算：

   （1）按定义求解，使用E(t)阶跃函数代替分段，使其连续方便使用定义求解；

   （2）图解法，需要分段讨论，适合求解单个值或某段卷积值；

   （3）利用性质求解，卷积符合交换律、结合律、分配律以及时移，在符合导数积分等于原函数的情况下，微分和积分在卷积中可以交换恒等。