NOI Online2022提高组 丹钓战

题目大意

有一个栈设当前元素为$i$，栈顶元素为$j$，弹出栈顶元素直到栈为空，或$a_i\neq a_j$且$b_i<b_j$。将$l,r$区间里的元素一次入栈，有多少个元素能把栈弹空。

题解

一个性质

我们可以发现如果前面的数加入栈后并不影响后面的操作，如果一个元素把询问栈弹空了，那么他弹完栈后栈顶部的元素的编号一定小于询问中的$l$。我们便可以模拟一遍弹栈，记录$i$号元素弹完后的栈顶编号为$s_i$。

这样我们的问题便转化为询问区间$[l,r]$里$s_i$小于$l$的个数。

数据结构

分块（$50pts$）

考虑用一个数据结构来维护这个答案，考场上首先想到的是分块，对每个块开一个桶，对这个桶求前缀和，便可维护出块内小与某个值的元素个数，剩下部分暴力做即可，考场上看错数据范围误以为能过，打开第三个样例后重新看数据范围，才发现只能得$50pts$。

#include<bits/stdc++.h>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
using namespace std;
int s[500005],a[500005],b[500005],top;
int st[100005],sze,po[100005],tot;
int bl[505][100005];
int ask(int l,int r){
    int p=po[l],q=po[r],res=0;
    if(p==q){
        for(int i=l;i<=r;i++)res+=(s[i]<l);
        return res;
    }
    for(int i=p+1;i<q;i++)res+=bl[i][l-1];
    for(int i=l;i<=sze*p;i++)res+=(s[i]<l);
    for(int i=sze*(q-1)+1;i<=r;i++)res+=(s[i]<l);
    return res;
}
int main(){
    int n,q;scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(top&&(a[st[top]]==a[i]||b[i]>=b[st[top]]))top--;
        s[i]=st[top];st[++top]=i;
    }
    sze=(int)sqrt(n),tot=(n-1)/sze+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)po[i]=(i-1)/sze+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)bl[po[i]][s[i]]++;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)bl[i][j]+=bl[i][j-1];
    for(int i=1,l,r;i<=q;i++){
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",ask(l,r));
    }
    return 0;
}

离线+线段树（$100pts$）

考场上半个小时以后想到的是线段树，考虑维护一个支持区间修改，单点查询的相对简易不伦不类的线段树。首先对每个询问由$r$从小到大排序，对于所有的$i\le r$我们可以使$[s_i+1,i]$内的元素全部加一，答案即为$l$点处的值。整个过程时间复杂度为$O(n\log n)$可以通过此题。蒟蒻为了遵照线段树的常例在每个节点出维护了最小值（其实根本没有必要）。

#include<bits/stdc++.h>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
using namespace std;
int s[500005],a[500005],b[500005],top;
int st[500005],n,q;
struct node{int l,r,id;}w[500005];
bool cmp(node x,node y){
    return x.r<y.r;
}
#define lson p<<1
#define rson p<<1|1
int lazy[2000005],T[2000005];
void pushdown(int p){
    lazy[lson]+=lazy[p];T[lson]+=lazy[p];
    lazy[rson]+=lazy[p];T[rson]+=lazy[p];
    lazy[p]=0;
}
void Up(int p){T[p]=max(T[lson],T[rson]);}
void modif(int p,int l,int r,int x,int y){
    if(x<=l&&r<=y){
        lazy[p]++,T[p]++;
        return ;
    }
    pushdown(p);int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid)modif(lson,l,mid,x,y);
    if(y>mid)modif(rson,mid+1,r,x,y);
    return Up(p);
}
int ask(int p,int l,int r,int w){
    if(l==r){return T[p];}int mid=l+r>>1;
    pushdown(p);
    if(w<=mid)return ask(lson,l,mid,w);
    else return ask(rson,mid+1,r,w);
}
#undef lson
#undef rson
int ans[500005];
void work(){
    for(int i=1;i<=q;i++){
        for(int j=w[i-1].r+1;j<=w[i].r;j++)
        modif(1,1,n,s[j]+1,j);
        ans[w[i].id]=ask(1,1,n,w[i].l);
    }
}
int main(){
    fre(stack);
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(top&&(a[st[top]]==a[i]||b[i]>=b[st[top]]))top--;
        s[i]=st[top];st[++top]=i;
    }
    for(int i=1;i<=q;i++)
    scanf("%d%d",&w[i].l,&w[i].r),w[i].id=i;
    sort(w+1,w+q+1,cmp);work();
    for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}