图算法 单源最短路径 Bellman_Ford算法(边权值为负情况)
一、前瞻
在之前的单源最短路径Dijkstra算法中,博主给出了最短路径的一些基本概念和问题,并且给出了对权值不能为负的图使用Dijkstra算法求解单源最短路径问题的方法。
我们提到,Dijkstra算法的一个巨大前提是:不能有权值为负的边。因为当权值可以为负时,可能在图中会存在负权回路,最短路径只要无限次地走这个负权回路,便可以无限制地减少它的最短路径权值,这就变相地说明最短路径不存在,Dijkstra算法无法终止。下图说明从u到v的最短路径是不存在的。
那么,应该用什么方法求解?
上面我们说Dijkstra算法无法终止,我们可能会想,可不可以试图让Dijkstra算法终止呢?
当Dijkstra算法运行时,突然找到了一个负权回路,这下糟糕做不下去了,那么赶快终止算法跳出循环,报告给我们:我找到了负权回路。
这个想法是很好的,但是如何判断碰到负权回路是个问题,读者有兴趣可以去实践一下。
为了处理存在负权边的情况,我们采用另外一种非常著名的方法:Bellman_Ford算法。有关最短路径的相关问题以及Dijkstra算法的求解,可参看下列博客:
http://www.cnblogs.com/dzkang2011/p/sp_dijkstra.html
二、Bellman_Ford算法思想
如果图G中存在负权回路,那么某些最短路径是不存在的。
Bellman_Ford算法的基本思想是:计算从源顶点s到其他所有顶点的最短路径权值,若碰上负权回路,则报告存在负权回路并返回。
若图中无负权回路,Bellman_Ford算法最多需要经过|V|-1次对所有边的松弛操作,就可以得到结果(有关证明请google)。当结束|V|-1次操作之后,在外围再做一次对所有边的松弛操作的测试,若到某些顶点的最短路径权值还能减小,说明|V|-1次松弛没有得到最后结果,那么必定存在负权回路,直接返回;若不再减小,说明已找到最短路。有关详情可看伪代码注释。
伪代码如下:
Bellman_Ford(G, w, s) d[s]←0 //初始化,s到s最短路权值为0,其他为正无穷 for each v∈V-{s} d[v]←∞
parent[v]← NIL //为生成最短路径树起作用
for i ← 1 to |V|-1 // 实验证明最多只需|V|-1次外层循环,|V|-1次结束后,若图G中无负权回路,那么s到其他所有顶点的最短路径求得 do for each edge (u, v)∈E //算法核心,松弛每一条边,维持三角不等式成立 do if d[v] > d[u] + w(u, v) then d[v] ← d[u]+w(u, v)
parent[v]←u
for each edge (u, v)∈E //进行完|V|-1次循环操作后,如果还能某条边还能进行松弛,说明到某个点的最短路径还未找到,那么必定是存在负权回路,返回FALSE do if d[v] > d[u] + w(u, v) then return FALSE return TRUE //若进行上面的松弛之后没有返回,说明所有的d值都不会再改变了,那么最短路径权值完全找到,返回TRUE
三、简单例子说明
下面给出一个简单的例子来模拟Bellman_Ford算法的过程,因为在|V|-1次循环中,我们需要做的是试图松弛每一条边,为了方便起见,我们给每一条边进行编号,然后按编号进行松弛,这样的话计算机实现比较方便,而且对结果不会产生影响。
初始情况:
第一轮,按顺序可松弛边4和边5,更新顶点B和C:
第二轮,按顺序可松弛边1、3、7、8,更新顶点E、D、C、D:
第三轮,进行一轮后发现无变化,跳出循环。
注:若存在负权回路,那么|V|-1必定全部做完,因为每次都可以更新,减去这个负权回路的值。
四、代码实现
下面给出Bellman_Ford算法的C/C++实现,其中可进行部分的优化。
我们发现,在进行|V|-1次循环操作时,每次的更新都与顶点的d的值有关,若所有d值不再改变了,那就不会影响到下一次的结果,那么我们就可以提前跳出循环,避免下面不必要的操作。
实现:
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 using namespace std; 4 5 #define INF 0xffff //权值上限 6 #define maxe 5000 //边数上限 7 #define maxn 100 //顶点数上限 8 int n, m; //顶点数、边数 9 int d[maxn]; //保存最短路径权值的数组 10 int parent[maxn]; //每个顶点的前驱顶点,用以还原最短路径树 11 struct edge //表述边的结构体,因为要对每一条边松弛 12 { 13 int u, v, w; //u为边起点,v为边端点,w为边权值,可以为负 14 }EG[maxe]; 15 16 bool Bellman_Ford(int s) //计算从起点到所有顶点的 17 { 18 for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化操作d[EG[j].v] > d[EG[j].u]+EG[j].w 19 { 20 d[i] = INF; 21 parent[i] = -1; 22 } 23 d[s] = 0; 24 bool flag; //标记,判断d值是否更新,跳出外层循环的依据 25 for(int i = 1; i < n; i++) //外层循环最多做n-1次 26 { 27 flag = false; //初始为false,假设不需再更新 28 for(int j = 0; j < m; j++) //对m条边进行松弛操作,若有更新,flag记为true 29 if(d[EG[j].v] > d[EG[j].u]+EG[j].w) //if d[v] > d[u] + w(u, v),更新d[v] 30 { 31 d[EG[j].v] = d[EG[j].u]+EG[j].w; 32 parent[EG[j].v] = EG[j].u; 33 flag = true; 34 } 35 if(!flag) break; //若松弛完每条边后,flag状态不变,说明未发现更新,可直接跳出循环 36 } 37 for(int i = 0; i < m; i++) //做完上述松弛后,如果还能松弛,说明存在负权回路,返回false 38 if(d[EG[i].v] > d[EG[i].u]+EG[i].w) 39 return false; 40 return true; //不存在负权回路,返回true 41 } 42 43 int main() 44 { 45 int st; 46 printf("请输入n和m:\n"); 47 scanf("%d%d", &n, &m); 48 printf("请输入m条边(u, v, w):\n"); 49 for(int i = 0; i < m; i++) 50 scanf("%d%d%d", &EG[i].u, &EG[i].v, &EG[i].w); 51 printf("请输入起点:"); 52 scanf("%d", &st); 53 if(Bellman_Ford(st)) 54 { 55 printf("不存在负权回路。\n"); 56 printf("源顶点到各顶点的最短路径权值为:\n"); 57 for(int i = 1; i <= n; i++) 58 printf("%d ", d[i]); 59 printf("\n"); 60 } 61 }
五、测试结果
就上面例子,我们进行测试,其中点都换成了数字形式:
六、时间复杂度分析
Bellman_Ford算法实现起来相比使用优先队列的Dijkstra算法要简单许多,但是时间复杂度不如Dijkstra算法,从代码分析,我们可以看出它的复杂度为O(VE),V表示顶点个数,E表示边的条数。但是,至少现在我们可以对负权值情况进行求解。
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