LCA学习笔记

简介

LCA（Lowest Common Ancestor） 中文名是最近公共祖先。两个节点的最近公共祖先，就是这两个点的公共祖先里面，离根最远的那个。

LCA问题的求解有多种方法，如：倍增、Tarjan、树链剖分
、欧拉序列转化为 RMQ再求解，但我只会倍增。

倍增求LCA:

实现：

我们可以定一个 $lca[x][k]$ 为表示为 $x$ 的第 $2^k$ 个祖先，显然 $lca[x][0]$ 为 $x$ 的父亲。

再想，$x$ 的第 $2^k$ 个祖先相当于 $x$ 的第 $2^{k-1}$ 个祖先的第 $2^{k-1}$ 个祖先，所以就有 $lca[x][k]=lca[lca[x][k-1]][k-1]$。

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这样预处理就完成了，让我们再想想查询。

首先，我们可以在预处理 lca 数组时顺带统计一下 d 数组，所代表的是每个节点的深度。

为了让两个点跳到它们的LCA时是同时跳到的，我们需要保证它们同时开跳时深度是相同的，这个实现不难，只要把深的那个跳上来就行，如何实现? 我们可以把两点的深度差进行二进制拆分，它的二进制的第 $k$ 位是 $1$ 的话，就跳到 $lca[x][k]$。

两点深度相同后，再让它们一起尽可能往上跳它们祖先不一样的，跳到最后不能跳了就是它们的LCA。

代码：

inline void init(int x,int fa){
	lca[x][0]=fa,d[x]=d[fa]+1;
	for(int i=1;i<LOGN;i++)
		lca[x][i]=lca[lca[x][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<g[x].size();i++)
		if(g[x][i]!=fa)init(g[x][i],x);
}
inline int LCA(int x,int y){
	if(d[x]<d[y])x^=y,y^=x,x^=y;
	int tnnd=d[x]-d[y];
	if(tnnd)
	for(int i=0;tnnd;i++,tnnd>>=1)
		if(tnnd&1)x=lca[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=LOGN-1;i>=0;i--)
		if(lca[x][i]!
		=lca[y][i])x=lca[x][i],y=lca[y][i];
	return lca[x][0];
}