【学习笔记】一类图上二选一构造问题

一类图上二选一构造问题

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CF1198C Matching vs Independent Set

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题目大意：

给定一张 \(3\cdot n\) 个节点、\(m\) 条边，无自环、无重边的无向连通图。

定义一个匹配是一个边的集合，满足其中任意两条边没有公共端点。

定义一个独立集是一个点的集合，满足其中任意两个点没有边直接相连。

请你找出一个 \(n\) 条边的匹配，或一个 \(n\) 个点的独立集。

数据范围：\(1\leq n\leq 10^5\)，\(0\leq m\leq 5\cdot 10^5\)。

容易想到去求最大匹配。但是求一般图最大匹配的带花树算法时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的。

考虑退而求其次，找出任意一个极大匹配。具体来说：我们每次取出一条边，并将它的两个端点删掉（一个点被删掉后，所有与它相连的边也被删掉），如此重复直到图上没有边为止。显然：

  • 被我们取出的边，是一个匹配。因为一个点第一次被取到后，所有和它相连的边就都被删掉了，所以取出的边之间不会有公共点。
  • 最终剩下的点，是一个独立集。首先，最终状态下，剩下的点之间肯定没有边（否则就还能继续取）。并且它们之间原来也不会有边，因为原图上的一条边，不会在两个端点都未被删除的情况下，平白无故消失。

考虑最终我们取出的边的数量，记为 \(k\)。

  • 若 \(k \geq n\)，则我们已经找出了一个 \(n\) 条边的匹配。
  • 若 \(k < n\)，因为这 \(k\) 条边是匹配，所以没有公共端点，所以它们恰好占用了 \(2k\) 个点，所以还剩下 \(3n - 2k \geq n\) 个点。这意味着我们找出了一个 \(n\) 个点的独立集。

综上所述，一定有解。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n + m)\)。

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CF1364D Ehab's Last Corollary

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题目大意：

给出一张 \(n\) 个点的无向连通图和一个常数 \(k\)。

你需要解决以下两个问题的任何一个：

  1. 找出一个大小为 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 的独立集。
  2. 找出一个大小不超过 \(k\) 的简单环。

独立集是一个点的集合，满足其中任意两点之间在原图上没有边直接相连。

可以证明这两个问题必然有一个可以被解决。

数据范围：\(3\leq k\leq n\leq10^5\)，\(n - 1\leq m\leq 2\cdot 10^5\)（边数）。

以任意点为根，建出 DFS 树。如果我们将每条边按照第一次经过时的方向进行定向，则无向图的 DFS 树满足所有非树边都是后向边（即从一个节点连向其祖先的边）。

如果存在一条非树边 \((u, v)\)（\(v\) 是 \(u\) 的祖先），满足 \(\mathrm{dep}(u) - \mathrm{dep}(v) < k\)，则取 \((u, v)\) 加上 \(v\) 到 \(u\) 的树上路径即为一个长度不超过 \(k\) 的简单环。

否则我们直接将节点按照深度的奇偶性划分为两个集合。在其中较大的一个集合里，把节点按 DFS 时访问的顺序排列，取任意连续的 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 个点，就是一个大小为 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 的独立集，证明如下：

  • 首先根据鸽巢原理，这个“较大的集合”，大小一定大于等于 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\)。
  • 下面证明它是独立集：
    • 因为任意一条树边的两个端点，深度的奇偶性一定不同。所以上述做法得到的集合里，不存在两个点被树边相连。
    • 对于一条非树边的两个端点 \((u, v)\)（\(v\) 是 \(u\) 的祖先），设 \(d = \mathrm{dep}(u) - \mathrm{dep}(v)\)，那么必有：\(d\geq k\)。把节点按 DFS 顺序排列后，\(u, v\) 之间至少有 \(d + 1\) 个点。如果想要同时取到 \(u, v\)，就必须取至少 \(\lceil\frac{d + 1}{2}\rceil\) 个点。而我们只取了 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 个点。\(k\) 为奇数且 \(d = k\) 时，\(u, v\) 深度奇偶性不同，不会被同时取到；否则 \(k\) 为偶数或 \(d > k\)，那么必有 \(\lceil\frac{d + 1}{2}\rceil > \lceil\frac{k}{2}\rceil\)。综上，\(u, v\) 不会被同时取到。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n + m)\)。

CF1325F Ehab's Last Theorem

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题目大意：

给出一张 \(n\) 个点的无向连通图。

你需要解决以下两个问题的任何一个：

  1. 找出一个大小为 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 的独立集。
  2. 找出一个大小至少为 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 的简单环。

独立集是一个点的集合，满足其中任意两点之间在原图上没有边直接相连。

可以证明这两个问题必然有一个可以被解决。

数据范围：\(5\leq n\leq10^5\)，\(n - 1\leq m\leq 2\cdot 10^5\)（边数）。

设 \(S = \lceil\sqrt{n}\rceil\)。显然 \(S \geq 3\)。

以任意点为根，建出 DFS 树。如果我们将每条边按照第一次经过时的方向进行定向，则无向图的 DFS 树满足所有非树边都是后向边（即从一个节点连向其祖先的边）。

如果存在一条非树边 \((u, v)\)（\(v\) 是 \(u\) 的祖先），满足 \(\mathrm{dep}(u) - \mathrm{dep}(v) \geq S - 1\)，则取 \((u, v)\) 加上 \(v\) 到 \(u\) 的树上路径即为一个大小至少为 \(S\) 的简单环，可以完成任务 2。

否则，将节点按照深度 \(\bmod (S - 1)\) 的值，划分为 \(S - 1\) 类。此时，同一类节点如果是祖先 - 后代关系，那么它们在树上深度差至少为 \(S - 1\)，因此同一类节点之间一定没有边相连。

根据鸽巢原理，至少有一类节点的数量 \(\geq \lceil\frac{n}{S - 1}\rceil\geq S\)，于是我们就找到了一个大小至少为 \(S\) 的独立集，任取其中 \(S\) 个节点，即可完成任务 1。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n + m)\)。

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CF1391E Pairs of Pairs

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题目大意：

给定一张 \(n\) 个节点、\(m\) 条边，无自环、无重边的无向连通图。

考虑将其中的一些节点配对，使得每个节点至多只出现在一对中。如果对于任意两对节点，这 \(4\) 个点的生成子图至多只有 \(2\) 条边，则称该配对方案是合法的。

你需要解决以下两个问题的任何一个：

  1. 找出一条包含至少 \(\lceil\frac{n}{2}\rceil\) 个节点的简单路径。
  2. 找出一组包含至少 \(\lceil\frac{n}{2}\rceil\) 个节点的合法的配对方案。

可以证明这两个问题必然有一个可以被解决。

数据范围：\(2\leq n\leq 5\cdot 10^5\)，\(1\leq m\leq 10^6\)。

设 \(l = \lceil\frac{n}{2}\rceil\)。

以任意点为根，建出 DFS 树。

定义一个节点的深度为，它到根路径上的点数。

设深度最大的点深度为 \(d\)。若 \(d \geq l\)，则直接取深度最大的点到根的路径，即可完成任务 1。

否则将节点按照深度分为 \(d\) 类。对于同一类点（也就是树上同一层里的点），记它们为 \(\{u_1, u_2, \dots, u_k\}\)，则依次配对：\((u_1, u_2), (u_3, u_4), \dots\)。若本层里的点数 \(k\) 为偶数，则恰好配完，否则会浪费一个。因为层数 \(d\leq l - 1\)，所以最多只会浪费 \(l - 1\) 个，也就是用到的节点数量 \(\geq n - (l - 1)\geq l\)。

又因为无向图的 DFS 树上不存在横叉边，所以对于任意两对节点，这 \(4\) 个点的生成子图至多只有 \(2\) 条边。符合任务 2 的要求。

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CF1439B Graph Subset Problem

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题目大意：

给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无自环、无重边无向图，以及一个正整数 \(k\)。

你需要解决以下两个问题的任何一个：

  1. 找出一个大小为 \(k\) 的团。也就是找出 \(k\) 个节点使得它们的生成子图是完全图。
  2. 找出一个子图，满足子图中任意节点都与至少 \(k\) 个同样在子图里的节点相连。

或者告知无解。

数据范围：\(1\leq n, m, k\leq 10^5\)，\(k\leq n\)。

开始时，把所有点丢到一个 \(\texttt{set}\) 里。以度数为关键字。支持：查询度数最小的点；修改一个点的度数（把原来的删除，再把新的插入）。然后执行如下过程：

  1. 取出度数最小的点 \(u\)。
  2. 如果它的度数 $ < k - 1$，显然它不可能被加入任何一种答案里，所以可以直接将这个点删除（同时与它相连的所有边也会被删除）。注意，删除 \(u\) 以后，其他与 \(u\) 有连边的点，度数可能会改变。回到步骤 1。
  3. 如果它的度数 $ = k - 1$。考虑 \(u\) 和它的 \(k - 1\) 个邻居，是否构成一个团。判断的方式就是暴力枚举 \(\frac{k(k - 1)}{2}\) 条边，看它们是否都存在（判断一条边是否存在可以做到 \(\mathcal{O}(1)\)，见这篇文章）。如果是一个团，那么直接输出。否则点 \(u\) 就不可能出现在答案里了，将它删掉，回到步骤 1。
  4. 如果所有点的度数都 \(\geq k\)，那么整张图就是一个“满足第二种要求的子图”，直接作为答案输出即可。

在步骤 1 里，如果图为空（没有节点了），说明无解。

因为每次删掉的都是绝不可能出现在答案里的点，所以上述做法的正确性是显而易见的。

暴力判断一个团的时间复杂度是 \(\mathcal{O}(k^2)\) 的，加起来是 \(\mathcal{O}(nk^2)\)。但是注意到，只有当 \(\frac{k(k - 1)}{2}\leq m\) 时，我们才需要判断。并且度数 \(\geq k - 1\) 的点只有 \(\mathcal{O}(\frac{m}{k})\) 个，所以这部分的总复杂度是 \(\mathcal{O}(\frac{m}{k}\cdot k^2) = \mathcal{O}(m\sqrt{m})\)。

总时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n + m\sqrt{m})\)。

LOJ3113 「SDOI2019」热闹的聚会与尴尬的聚会

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题目大意：

给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单无向图。请求出：

  1. 一个点集 \(A\)。设它的导出子图里，度数最小的点的度数为 \(p\)。
  2. 一个点集 \(B\)，满足它是原图的一个独立集。设它的大小为 \(q\)。

点集 \(A\) 和 \(B\) 可以有交，也可以有节点不在任何一个点集里。

你需要构造出这样的两个点集，使得 \(\lfloor\frac{n}{p + 1}\rfloor \leq q\) 且 \(\lfloor\frac{n}{q + 1}\rfloor \leq p\)。

数据范围：\(T\leq 32\) 组测试数据。对于每组测试数据：\(1\leq n\leq 10^4\)，\(1\leq m\leq 10^5\)。

条件可以改写成：\((p + 1)(q + 1) > n\)。因此显然是 \(p, q\) 越大越好。

因为两个点集互不影响，考虑独立地将它们构造出来。也就是把 \(p, q\) 分别最大化。

先考虑最大化 \(p\)。首先将所有点都放入点集，此时 \(p\) 就是图里度数最小的点的度数，记为 \(p_t\)。然后如果我们想要使 \(p\) 变得更大，则显然必须删去度数最小的点。将它删去后，其他点的度数也会相应地变化。我们不断重复此过程，直到图被删空为止。记下整个过程中 \(p_t\) 最大的时刻，将那一时刻的图作为第一个点集。

最大化 \(q\) 则比较困难。【一般图最大独立集】本身是没有多项式复杂度做法的。此时如果用模拟退火等随机化算法，强行求“最大独立集”，据说能得到不错的分数，因为题目给出的界其实很松。抛开随机，题目既然将两个问题放在一起，说明他们之间肯定有内在联系。于是结合上面的做法，去考虑求独立集。

上面的做法里，我们每次会删掉度数最小的点 \(u\)。并且在删之前的时刻，\(p_t\) 就等于 \(u\) 的度数。现在我们对该做法进行一点点修改：

  1. 仍然每次选出度数最小的点 \(u\)。
  2. 将 \(u\) 加入第二个点集。
  3. 将所有与 \(u\) 相邻的点从图上删去。
  4. 将点 \(u\) 从图上删去。

最后仍然取整个过程中 \(p_t\) 最大的时刻，将那一时刻的图作为第一个点集。但是注意，无论取了哪个时刻作为第一个点集，这将不会影响第二个点集的选取：在该时刻之后发生的、向第二个点集里加点的操作，仍然有效。步骤 3 保证了我们求出的第二个点集是独立集。

接下来问题的关键就是，这样求出的 \(p, q\) 是否满足大小的要求呢？

答案是肯定的。因为每当一个点 \(u\) 被加入独立集，它会同时删掉与它相邻的点，也就是删去的点数等于 \(u\) 的度数，等于彼时彼刻的 \(p_t\)。又因为最终作为答案的 \(p\) 是所有 \(p_t\) 里的最大值，所以每次被删除的点数都不超过 \(p\) 。所以独立集里的点数 \(q\geq \lceil\frac{n}{p + 1}\rceil\)，所以 \((p + 1)(q + 1) > n\)。

综上，我们构造出了符合所有要求的答案。

每次取度数最小的点，并支持修改一个点的度数，可以用线段树或 \(\texttt{set}\) 实现。时间复杂度 \(\mathcal{O}((n + m)\log n)\)。

总结

在图上，题目问了你两个看似无关的问题，然后让你任选其中一个给出解（构造出满足条件的方案）。这些问题可能是：

  • 求满足 ... 条件的简单路径。
  • 求满足 ... 条件的简单环。
  • 求满足 ... 条件的子图（独立集，团，...）。
  • 求满足 ... 条件的边集。
  • ......

比较基础的方法是：对其中一个任务，看出它所需的充分必要条件 \(X\)。判断一下所给的图，如果满足 \(X\)，则直接输出答案。否则问题转化为：【给出一张图，保证不满足 \(X\)，请完成任务 2】。对着这个问题大力思考即可。如果不能一眼看出充分必要条件，那至少找一个充分条件。看看此时另一个任务是否必能完成。此外，还可以先尝试解决其中一个任务。在解决的过程中，逐渐发现性质，或者发现两个任务的内在联系。

在无向图上，DFS 树是一个非常强大的工具，我们要善用它。

如果涉及到点的度数有关的问题，可以考虑每次把度数最小的点删去，然后更新其他点的度数。

posted @ 2021-02-24 00:50  duyiblue  阅读(1140)  评论(4)  编辑  收藏  举报