CF1034C Region Separation

CF1034C Region Separation

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给定一棵 \(n\) 个点的树。每个点有权值，记为 \(a_{1\dots n}\)。

你想砍树。你可以砍任意轮，每轮你选择一些边（至少一条）断开，需要满足每轮结束后每个连通块的权值和是相等的。

求有多少种砍树方案。两种方案不同，当且仅当轮数不同或者某一轮砍的边不同。答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

数据范围：\(1\leq n\leq 10^6\)，\(1\leq a_i\leq 10^9\)。

本题题解

取任意点为根（不妨取 \(1\)），把树变成有根树。设 \(S\) 为所有节点的点权和，\(s_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树内的点权和。

考虑只进行一轮划分，有多少种方案。设把树划分为了 \(k\) 块，那么存在方案的一个必要条件是：\(k\) 是 \(S\) 的约数。此时每块内的点权和是 \(\frac{S}{k}\)。

我们从叶子开始，类似树形 DP 的过程，每当当前连通块的和达到 \(\frac{S}{k}\)，就把当前连通块割下来。具体来说，对所有 \(i = 2\dots n\)，如果 \(s_{i} \bmod \frac{S}{k} = 0\)，就切断 \(i\) 和 \(\mathrm{fa}(i)\) 之间的边。容易发现，如果有解，我们这样会求出唯一的一组解。如果无解，按此方法最终得到的连通块数会小于 \(k\)。

通过如上讨论，我们已经可以回答【只进行一轮划分，把树划分为 \(k\) 块的方案数】，设为 \(f(k)\)，则：

\[f(k) = \begin{cases} 0 && S\bmod k\neq 0\\ \displaystyle \left[\left(\sum_{i = 1}^{n} \left[s_i \bmod \frac{S}{k} = 0\right]\right) = k\right]&& \text{otherwise} \end{cases} \]

也就是说，\(f(k)\) 只能等于 \(0\) 或 \(1\)，并且它为 \(1\) 当且仅当：\(k\) 是 \(S\) 的约数，且恰有 \(k\) 个 \(i\) 满足 \(s_i \bmod \frac{S}{k} = 0\)。

暴力求出 \(f(1)\dots f(n)\) 的时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的，我们想要更快。

考虑 \(s_i \bmod \frac{S}{k} = 0\) 这个要求。转化一下：

\[\begin{align} &s_i = t\cdot \frac{S}{k}\\ \rArr & s_i \cdot k = t \cdot S\\ \rArr & S \mid s_i \cdot k\\ \rArr & \frac{S}{\gcd(S, s_i)}\mid k \end{align} \]

也就是说，这个要求等价于 \(k\) 是 \(\frac{S}{\gcd(S, s_i)}\) 的倍数。

那么对每个 \(s_i\)，设 \(v = \frac{S}{\gcd(S, s_i)}\)，它可以对 $k = v, 2v, 3v, \dots $ 产生贡献，另外注意 \(k \leq n\)。于是我们用桶存一下，然后累加一遍，就能在调和级数的时间复杂度内，求出所有 \(f(k)\) 了。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

然后考虑不止划分一轮的问题。设 \(\mathrm{dp}(k)\) 表示划分了若干轮，得到 \(k\) 个连通块的方案数。根据划分方案的唯一性，它上一轮划分出的连通块数，能且仅能是 \(k\) 的约数。于是可以写出转移：

\[\mathrm{dp}(k) = f(k)\cdot \sum_{ i | k } \mathrm{dp}(i) \]

答案就是 \(\sum_{k = 1}^{n} \mathrm{dp}(k)\)。这个 DP 的时间复杂度也是调和级数： \(\mathcal{O}(n\log n)\) 的。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n(\log n + \log a))\)，其中 \(\log a\) 来自求 \(\gcd\)。

参考代码

片段：

const int MAXN = 1e6;
const int MOD = 1e9 + 7;

int n, a[MAXN + 5], fa[MAXN + 5];
ll s[MAXN + 5], S;
int f[MAXN + 5], dp[MAXN + 5];

ll gcd(ll x, ll y) { return (!y) ? x : gcd(y, x % y); }

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> a[i];
		s[i] = a[i];
		S += a[i];
	}
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		cin >> fa[i];
	}
	for (int i = n; i >= 2; --i) {
		s[fa[i]] += s[i];
	}
	assert(s[1] == S);
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ll v = S / gcd(S, s[i]);
		if (v <= n) {
			f[v]++;
		}
	}
	for (int i = n; i >= 1; --i) {
		for (int j = i + i; j <= n; j += i) {
			f[j] += f[i];
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		f[i] = (f[i] == i); // 恰好能划分为 i 块
	}
	
	dp[1] = 1;
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (!f[i]) {
			dp[i] = 0;
			continue;
		}
		for (int j = i + i; j <= n; j += i) {
			dp[j] = (dp[j] + dp[i]) % MOD;
		}
		ans = (ans + dp[i]) % MOD;
	}
	
	cout << ans << endl;
	return 0;
}