题解 洛谷P6561 [SBCOI2020] 人

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给定三个正整数\(m\), \(a\), \(b\)。要求在\([1,2m]\)中选出\(a\)个奇数，\(b\)个偶数，并且选出的数两两不相邻。问有多少种选择的方案。方案数对\(998244353\)取模。

\(T\)组测试数据。

数据范围：\(1\leq a,b\leq m\leq 10^6\)。\(a+b\leq m\)。\(1\leq T\leq 10^6\)。

本题题解

考虑相邻的一奇一偶，也就是形式化地表述为\(2i+1\), \(2i+2\) (\(0\leq i<m\))这两个数，它们不可能同时被选中。对于第\(i\)组数，如果\(2i+1\)（奇数）被选中，称这一组为\(\text{A}\)；如果\(2i+2\)（偶数）被选中，称这一组为\(\text{B}\)；如果都没有被选中，称这一组为\(\text{C}\)。则任何一种合法的选择方案，可以被表示为一个长度为\(m\)的\(\text{ABC}\)串，其中有\(a\)个\(\text{A}\)，\(b\)个\(\text{B}\)，和\(m-a-b\)个\(\text{C}\)，并且不允许出现\(\text{BA}\)这个子串。我们相当于要求这样的\(\text{ABC}\)串的数量。

先不考虑\(\text{A}\)。\(\text{B}\)和\(\text{C}\)的相对位置关系可以任意安排，它们共有\(b+(m-a-b)=m-a\)个，所以任意安排的方案数是\({m-a\choose b}\)。

再插入\(\text{A}\)。\(\text{A}\)不能被插入在\(\text{B}\)后面，除此之外其他任何位置都是可以的。考虑第\(1\)个\(\text{A}\)，它可以被插入在最前面，或者某个\(\text{C}\)后面，所以有\(m-a-b+1\)种方案；第\(2\)个\(\text{A}\)，除了最前面和某个\(\text{C}\)后面以外，还能插入在第\(1\)个\(\text{A}\)后面，所以有\(m-a-b+2\)种方案；以此类推，第\(k\)个\(\text{A}\)有\(m-a-b+k\)种插入方案。同时，所有\(\text{A}\)是本质相同的，所以还要除以\(a!\)。所以插入\(\text{A}\)的总方案数就是：\(\frac{(m-a-b+1)\cdot(m-a-b+2)\cdots(m-a-b+a)}{a!}={m-b\choose a}\)。

因此答案就是：\({m-a\choose b}\cdot{m-b\choose a}\)。

\(T\)次求组合数。预处理阶乘和阶乘的逆元即可。

时间复杂度\(O(m+T)\)。

参考代码（本代码仅供参考，建议添加读入优化）：

//problem:P6561
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;

template<typename T>inline void ckmax(T& x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T>inline void ckmin(T& x,T y){x=(y<x?y:x);}

const int MAXN=2e6;
const int MOD=998244353;
inline int mod1(int x){return x<MOD?x:x-MOD;}
inline int mod2(int x){return x<0?x+MOD:x;}
inline void add(int& x,int y){x=mod1(x+y);}
inline void sub(int& x,int y){x=mod2(x-y);}
inline int pow_mod(int x,int i){int y=1;while(i){if(i&1)y=(ll)y*x%MOD;x=(ll)x*x%MOD;i>>=1;}return y;}

int fac[MAXN+5],ifac[MAXN+5];
inline int comb(int n,int k){
	if(n<k)return 0;
	return (ll)fac[n]*ifac[k]%MOD*ifac[n-k]%MOD;
}
void facinit(int lim=MAXN){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=lim;++i)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;
	ifac[lim]=pow_mod(fac[lim],MOD-2);
	for(int i=lim-1;i>=0;--i)ifac[i]=(ll)ifac[i+1]*(i+1)%MOD;
}

int m,a,b;
int main() {
	facinit();
	int T;cin>>T;while(T--){
		cin>>m>>a>>b;
		int ans = (ll)comb(m-a,b) * comb(m-b,a) % MOD;
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}