题解 CF1326E Bombs

CF1326E Bombs

题目大意

有一个长度为 \(n\) 的排列 \(p_{1}, p_{2},\dots, p_{n}\)。其中一些位置上是有炸弹的（保证至少一个位置没有炸弹）。

对于一个固定的局面（已知哪些位置有炸弹），我们这样定义它的权值：考虑如下过程：

维护一个集合 \(A\)，初始时为空。从 \(1\) 到 \(n\) 遍历所有 \(i\)：

• 将 \(p_{i}\) 加入集合 \(A\)。
• 如果 \(i\) 位置上有炸弹，则删除 \(A\) 中最大的数。

显然最后 \(A\) 里至少会剩一个数。该局面的权值就是此时 \(A\) 里最大的数。

初始时没有炸弹。接下来 \(n - 1\) 个时刻，每个时刻会在一个原本没有炸弹的位置上放一颗炸弹。告诉你这些位置，请你求出每个时刻局面的权值。

数据范围：\(2\leq n\leq 300\, 000\)。

本题题解

考场上的一点分析：依次加入炸弹的过程中，每个炸弹会匹配到原序列的一个值——也就是它要炸掉的值。但是因为炸弹不是按位置顺序加入的，所以在加入的过程中，炸弹和值的匹配关系会发生变化，而这个变化会产生连锁反应，不好快速维护。（例如样例二中就可以看出这种匹配关系的变化）

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正解：

换个角度思考。容易发现答案是单调不增的。所以我们可以把问题转化为，判断当前答案是否小于某个值\(x\)。

也就是说，我们需要炸掉所有\(\geq x\)的值。

• 考虑最右边的\(\geq x\)的值，它右边必须至少有一个炸弹。
• 右起第二个\(\geq x\)的值，它右边必须至少有两个炸弹。
• ......
• 右起第\(k\)个\(\geq x\)的值，它右边必须至少有\(k\)个炸弹。

考虑构造一个序列\(b_i\)，表示\(i\dots n\)中\(\geq x\)的值的数量 减去 炸弹的数量。

发现答案小于\(x\)当且仅当所有\(b_i\)都\(\leq0\)。也就是说每个\(\geq x\)的值，都能被至少一个炸弹“照顾”到。

用线段树维护\(b\)序列，支持区间加、求全局最大值即可。

时间复杂度\(O(n\log n)\)。

总结

发现了答案的单调性后，我们把问题转化为：判断当前答案是否小于某个值\(x\)。这有点像二分答案，这样做的好处是：所有需要被炸掉的值都是确定的了。我们只要判断能否把它们都炸掉即可。

参考代码

//problem:CF1326E
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fst first
#define scd second

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;

namespace Fread{
const int MAXN=1<<20;
char buf[MAXN],*S,*T;
inline char getchar(){
	if(S==T){
		T=(S=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin);
		if(S==T)return EOF;
	}
	return *S++;
}
}//namespace Fread
#ifdef ONLINE_JUDGE
	#define getchar Fread::getchar
#endif
inline int read(){
	int f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline ll readll(){
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
/*  ------  by:duyi  ------  */ // myt天下第一
const int MAXN=3e5;
int n,a[MAXN+5],q[MAXN+5],pos[MAXN+5];
struct SegmentTree{
	int val[MAXN*4+5],tag[MAXN*4+5];
	void push_down(int p){
		if(tag[p]){
			val[p<<1]+=tag[p];
			tag[p<<1]+=tag[p];
			val[p<<1|1]+=tag[p];
			tag[p<<1|1]+=tag[p];
			tag[p]=0;
		}
	}
	void push_up(int p){
		val[p]=max(val[p<<1],val[p<<1|1]);
	}
	void modify(int p,int l,int r,int ql,int qr,int v){
		if(ql<=l && qr>=r){
			val[p]+=v;
			tag[p]+=v;
			return;
		}
		push_down(p);
		int mid=(l+r)>>1;
		if(ql<=mid)modify(p<<1,l,mid,ql,qr,v);
		if(qr>mid)modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
		push_up(p);
	}
	SegmentTree(){}
}T;
int main() {
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),pos[a[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i)q[i]=read();
	int ans=n;
	T.modify(1,1,n,1,pos[n],1);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		printf("%d ",ans);
		T.modify(1,1,n,1,q[i],-1);
		if(i==n)break;
		while(1){
			assert(ans>=1);
			if(T.val[1]<=0){
				--ans;
				T.modify(1,1,n,1,pos[ans],1);
			}
			else break;
		}
	}
	puts("");
	return 0;
}