随笔分类 - 算法-数学-组合计数/生成函数/容斥原理
摘要：用总数减去不合法的排列数。考虑不合法的排列里的极长不合法段，那么不合法的排列可以分为两类：有两个极长不合法段的，或者有三个及以上极长不合法段的。对于前者，发现至少有一个不合法段是前缀或后缀，且数值为 1...k，可以递推求出其方案数（二次容斥）。对于后者，不合法段一定不相交。考虑用 DP 对齐进行划分，再用前面处理好的答案算出其排列方案数。
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摘要：初步转化：不管死了多少个猎人，我们开枪时仍然在 n 个猎人里进行选择，如果选到了已经死去的猎人，就假装无事发生，再选一次，直到某次选中了活着的猎人为止。之后使用容斥，考虑哪些人死的时间晚于 1，写出式子后，发现可以用分治 NTT 计算。
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摘要：使用容斥原理解本题需要大量的分类讨论，故我们转而考虑不重不漏地计数。将约数按它在 A,B,C 哪几个里出现过，分为 7 类。枚举三元组里每个数的种类，则选择的方案数可以用一个组合数公式计算出来
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摘要：本文主要介绍了卡特兰数的定义，几种常见形式，和它对应的实际意义。利用其实际意义，可以解决一类 DP 问题（NOI2018 冒泡排序）。此外，卡特兰数在生成函数的推导中也有应用，但不是本文探讨的重点
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摘要：可以将 a 序列排序。枚举 p,q 上每个位置 i 对答案的贡献。枚举 p,q 上第 i 位的元素分别为 aj, ak。根据 j,k 的大小关系分类讨论一下，用组合数算出方案数，时间复杂度 O(n^3)。单独枚举 j 和 k，分别计算贡献（正的或负的，需要分类讨论一下），即可做到 O(n^2)。然后拿着 O(n^2) 的式子，把它化成卷积的形式，就能得到 O(n log n) 做法，可以通过本题。
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摘要：题目来源：Codeforces，#678，Codeforces Round #678 (Div. 2)，CF1436；CF1436E Complicated Computations，CF1436F Sum Over Subsets。 CF1436E Complicated Computations
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摘要：拆方差。拆成三个部分，前两个部分是类似的。我们改变枚举方式，用桶存储出现次数，并做 NTT，就能求出。第三部分，基于前面 NTT 的结果，进行容斥。分类讨论一下，即可求出。
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摘要：发现所有序列，都能被整合为一个特定的形式，这样就解决了本质不同的问题。然后对这种特定形式计数，用到插板法。简单推一推组合数的式子。
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摘要：把覆盖，转化成插入，由此可以得到一个O(n^2)的DP。观察DP转移，发现答案是一堆短多项式的乘积。一般做法是分治FFT，不过本题里可以用倍增+二项式定理去掉一个log。
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摘要：考虑每个gcd对答案的贡献。这不好求。可以先求gcd至少是d时对答案的贡献（也就是gcd是d的倍数），然后再容斥回去。多次询问时，考虑预处理答案，从n-1向n递推，则只有d是n的约数会有变化，这样的d总量是O(n log n)的。但我们不能每次重新做一遍容斥。可以把容斥转化为给每个d一个贡献系数，这样d的贡献值变化时，只要拿变化量乘以系数即可。
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摘要：把序列变成一棵基环树。转化为求所有基环树环的数量之和。可以egf做。设g(n)表示n个节点的基环树森林数量，显然g(n)=n^n。设G(x)是g的egf。则n个节点的一棵基环树的数量就是F=ln G。环的总数，就等于F*G，相当于枚举某一棵基环树对答案的贡献，其他部分任意。时间复杂度n log n。k=2时，还要加上叶子数的期望，单独考虑每个节点的贡献即可。
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摘要：相邻的一奇一偶（2i+1, 2i+2）不可能全都选。对于每一组这样相邻的一奇一偶，考虑选奇数、选偶数、都不选这三种情况，分别称为A,B,C。则问题相当于要求有多少长度为m的ABC串，其中有a个A，b个B，m-a-b个C，且不出现BA这个子串。先考虑BC，方案数是C(m-a,b)。再考虑插入A，方案数是C(m-b,a)，所以总方案数是C(m-a,b)*C(m-b,a)
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摘要：把f(k)拆开，对每一项单独算。后面的可以用二项式定理，难点在如何消掉k^i。可以每次求导再乘以x，效果等价于让每一项乘以k。这样就把k^i消掉了。还有一种方法是利用组合恒等式，拿组合数去消k，发现系数恰好是第二类斯特林数。当然，还有很多别的方法，例如考虑组合意义
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摘要：先求严格上升的这些序列的权值之和，再乘以n!就是答案了。DP。设f[i]表示所有长度为i的，严格上升的序列，的权值和。考虑在f[i-1]后面加一个数，转移到f[i]，那么要求新加入的数不能和前面任意一个数相同，且必须是最大的。先不管是不是最大的，最后再除以i就行。不能相同这个条件可以容斥。最后发现需要预处理自然数幂的和，用求逆，把NTT换成暴力乘就行。
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该文被密码保护。
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摘要：条件相当于求不能走原图里的边的方案数。把它容斥成，求必须走至少i条原图里边的方案数。先做状压DP，求出把原图，划分为x条链的方案数。链之间是完全图，完全图的哈密尔顿路径数量是x!，要乘上容斥系数，取决于不合法的边数。因为有n个图，相当于做n次背包，也就是自己卷自己的卷积。我们转成点值，然后快速幂，最后IDFT回去即可。
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摘要：用二项式反演（容斥），推出组合式。式子的瓶颈在于枚举B神每门课的得分。把这部分单独拿出来，推成自然数幂求和的形式。然后用拉格朗日反演求解。
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