随笔分类 - 算法-数学-数论
摘要：Kruskal 算法。考虑哪些边有可能被贪心选中。因为最小公倍数的要求太复杂、太苛刻，我们不妨忽略“最小”，只考虑是公倍数。因为这样新产生的边边权更大，不会影响答案。考虑点权是 k 的倍数的点之间的边，发现有用的边其中一个端点一定是大于等于 L 的第一个 k 的倍数。于是有用的总边数就被压缩到了 O(n log n) 级别。直接执行 kruskal 算法即可。此外，我们还可以不事先排序，用 priority_queue 把空间复杂度优化到 O(n)。
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摘要：先考虑 k 是偶数的情况，此时 k 必须是 2n 的约数，且不能是 n 的约数，并且 k 要尽量小，所以令 k = 2 的 (n 里 2 的最高次数 + 1) 次方即可。若 k 还是太大，说明偶数无解，考虑奇数。此时有一个非常巧妙的想法：令 k2 = 2n / k。会发现这个 k2 一定是满足条件的。
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摘要：用 bitset 支持操作 2，但操作 3 比较困难。考虑不是记录每个数的出现次数，而记录每个数的倍数的出现次数。这样操作 2,3 都可以轻松实现。回答询问时，把每个倍数乘以莫比乌斯函数，就能还原出答案
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摘要：使用容斥原理解本题需要大量的分类讨论，故我们转而考虑不重不漏地计数。将约数按它在 A,B,C 哪几个里出现过，分为 7 类。枚举三元组里每个数的种类，则选择的方案数可以用一个组合数公式计算出来
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摘要：通过分析题目的性质，可以把每种局面都映射为一个数。进而把局面之间的变换，转化为数的变换，也就是一个数论问题。此时有两种做法，一种是暴力枚举，一种是同余最短路。根号分治一下，即可通过本题。
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摘要：对于某个数 x，某些问题里，需要在 [0, x - 1) 这些点上跑最短路。可以理解为，它是用最短路算法实现了一个 DP。这种做法被称为同余最短路。
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摘要：运用唯一分解定理，考虑 x 的质因数构成。对小于等于 sqrt(n) 的质数暴力查询。对大于 sqrt(n) 的质数，可以有两种方法。若小质数部分 x_small > 1，则对每个大质数 p，查询 p * x_small 是否还在集合里。若 x_small = 1，对大质数序列分块。先确定 x 在哪块里，再暴力查询。
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摘要：题目来源：Codeforces，#678，Codeforces Round #678 (Div. 2)，CF1436；CF1436E Complicated Computations，CF1436F Sum Over Subsets。 CF1436E Complicated Computations
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摘要：考虑每个gcd对答案的贡献。这不好求。可以先求gcd至少是d时对答案的贡献（也就是gcd是d的倍数），然后再容斥回去。多次询问时，考虑预处理答案，从n-1向n递推，则只有d是n的约数会有变化，这样的d总量是O(n log n)的。但我们不能每次重新做一遍容斥。可以把容斥转化为给每个d一个贡献系数，这样d的贡献值变化时，只要拿变化量乘以系数即可。
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摘要：分k>sqrt(n)和k<=sqrt(n)两种情况。后者可以直接爆搜。前者，每个数里，至多只有一个不合法的质数，所以不合法的数总是就是sigma( i=k+1~n, [i是质数] floor(n/i) )。这个函数不好求，不过floor(n/i)只有O(sqrt(n))种取值，我们枚举floor(n/i)的值，转化为求区间里质数数量。而这个区间端点恰好又都是floor(n/i)的形式，可以用min25筛的前半部分筛出来
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摘要：min25筛，用来求一个函数的前缀和。算法分成两个部分，前一部分用DP的思想筛出质数的贡献。后一部分把质数与合数的贡献加和。它不仅可以用来求很多数论函数的前缀和，它前后两部分的思想也经常单独出现在一些题目中。
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摘要：考虑从n-1到n递推答案f(n)。发现答案的差，可以用一个g(n)-g(n-1)表示出来。继续递归下去，到边界时，f(n)就等于1/2+g(n)。于是问题转化为求g(n)。先做一个分数裂项。然后套用莫比乌斯反演推出最终的式子。还需要卡一卡空间。
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摘要：题目链接 我们设$h(i)$，表示要到达点$i$，最远必须经过$h(i)$。特别地，如果永远无法到达$i$，令$h(i)=\inf$。那么，每个位置$i$，会在$\text\in[h(i),m]\(时成为一个能够到达的位置（其中\)\text\(表示可以走的范围为\)[0,\text]\(）。因此最
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摘要：对于一个排列，它的操作次数是它所有循环圈长度的$\operatorname{lcm}$。 因为答案是求乘积。我们可以分别计算每个质数的贡献。 对于一个质数$p$，它对答案的贡献是每个排列中，所有循环圈长度（分解质因数后）$p$的次数的最大值之和。即： $$ ans=\prod_{p}p^{\sum_
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摘要：CASE $1\sim 3$ $n$组测试数据，每次输入一个数$x$，求$19^x$。 测试点$1$，\(x=0,1,\dots n-1\)，可以直接递推。 测试点$2$要开long long并用快速幂。 测试点$3$中$x$超出了long long范围。根据欧拉定理，当$a,p$互质时，\(a^b
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摘要：这文章好水啊。。。 公式： 原始版： \(g(x)=\sum_{d|x}f(d)\Leftrightarrow f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})g(d)\) 推论式： \(g(x)=\sum_{x|d}f(d)\Leftrightarrow f(x)=\sum_{x|d
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