随笔分类 - 题目来源-Codeforces
摘要：区间 DP。朴素做法是 O(n^5) 的。通过更巧妙的状态设计，可以做到 O(n^4)。本文将详细讲解这种巧妙的状态设计，并帮助读者感谢理解它的含义。
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摘要：首先发现每个字母会对答案有一个贡献系数，是 1 或 -1。结论是，除了 n 的系数必须是 1，n - 1 的系数必须是 -1，其他数的系数可以任意选择。于是问题转化为选择系数，使得和为 T。可以从大到小贪心。本文将证明其正确性。
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摘要：每个初始时的格子会唯一对应一个最终的格子，于是拆开考虑每个格子的贡献。转化为对 n^2 个三元组，分别进行一样的操作。此时的操作是可以合并的。遍历 m 个操作，预处理出：任意一个初始三元组在被操作后会产生什么变化。然后将这个变化分别作用于所有初始三元组即可。
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摘要：做 KMP 后，从 fail[x] 向 x 连边，得到一个有根树森林。用树链剖分优化暴力跳 border 的过程，转化为一个序列上的数据结构问题。可以离线，进一步转化为静态的区间覆盖和区间最小值查询问题。
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摘要：发现可能出现的 42 的幂很少。如果只有操作 3，我们可以暴力 while，用线段树修改，每个位置只会被更新 log_{42}(maxValue) 次，总时间复杂度 O((n + q) * log_{42}(maxValue) * log_{2}(n))。在有操作 2 时，每个位置上数值不再单调增加，会影响前面的复杂度分析。此时引入一种懒惰状态，表示数值等于它后面第一个非懒惰状态的值。在操作 2 时，只修改 r 位置，并把 [l, r - 1] 置为懒惰状态。因为每次只需要增加 O(1) 个非懒惰状态，时间复杂度正确。
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摘要：分析问题性质，容易得到一个 O(n^2) 做法。考虑对每个 Alice 的起点二分答案。换成整体二分，每次建虚树，在虚树上树形 DP，即可做到 O(n log^2 n)。注意要判断一个节点到 Alice 和 Bob 距离相等的情况，比较复杂。
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摘要：一个结论是，不存在大小大于 2 的环。于是我们只需要保证图连通即可。从高到低考虑每一位，把数分成当前位为 0 的集合和当前位为 1 的集合，则为保证连通，必须有至少一个集合，大小小于 2。枚举删哪个集合，然后递归即可。本质是在 Trie 树上树形 DP。
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摘要：考虑序列里唯一的、出现次数最多的数 x。结论：最长的好的子段，一定满足，x 是其中出现次数最多的数之一。然后可以枚举另一个出现次数最多的数 y。把 x, y 分别看成 1, -1，其他数看成 0，则问题转化为求最长的、和为 0 的子段，这很简单。在 D2 里，根据出现次数最多的元素的出现次数，进行根号分治，出现次数大时，可能的值就少，可以套用前一种方法。出现次数小时，可以枚举出现次数，做 two pointers
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摘要：分 n 为奇数和偶数两种情况。奇数时，容易用人类智慧构造出一种方案。偶数时，考虑何时有解，何时无解。发现一次操作不会改变所有数的异或和。那么，有解的必要条件是，所有数异或和为 0。发现此时，随便拿出一个数，对剩下 n - 1 个数按奇数的方法构造即可。
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摘要：运用唯一分解定理，考虑 x 的质因数构成。对小于等于 sqrt(n) 的质数暴力查询。对大于 sqrt(n) 的质数，可以有两种方法。若小质数部分 x_small > 1，则对每个大质数 p，查询 p * x_small 是否还在集合里。若 x_small = 1，对大质数序列分块。先确定 x 在哪块里，再暴力查询。
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摘要：考虑把 DAG 分层，用状压 DP 来实现这个过程。每次转移增加一层，必须满足所有能到达新层的点，都在原点集里出现过。把每条边的代价，分摊到它跨过的每一层里。也就是每次转移，代价是：所有起点已经在 S 里，终点不在 S 里的边的边权之和。
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摘要：可以将 a 序列排序。枚举 p,q 上每个位置 i 对答案的贡献。枚举 p,q 上第 i 位的元素分别为 aj, ak。根据 j,k 的大小关系分类讨论一下，用组合数算出方案数，时间复杂度 O(n^3)。单独枚举 j 和 k，分别计算贡献（正的或负的，需要分类讨论一下），即可做到 O(n^2)。然后拿着 O(n^2) 的式子，把它化成卷积的形式，就能得到 O(n log n) 做法，可以通过本题。
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摘要：题目来源：Codeforces，#678，Codeforces Round #678 (Div. 2)，CF1436；CF1436E Complicated Computations，CF1436F Sum Over Subsets。 CF1436E Complicated Computations
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摘要：不会删边，考虑倒序操作，删边变加边。但操作 1 又只能正序进行。所以考虑倒序加边建出重构树，然后正序处理操作 1。用线段树维护重构树的 dfs 序即可。
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摘要：树形DP。转移时将儿子按 h 的大小关系分成三类。枚举和 h[u] 相等的儿子里，有几个定向为向上，则可以贪心地取 dp[v][0] - dp[v][1] 前若干大的。
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摘要：转化为最小化每一段的代价之和。设 dp[i][j][k] 表示考虑了前 i 个位置，第 i 个位置放了 1，用了 j 次操作，前 i 个位置共放了 k 个 1，此时的最小代价和。转移时枚举下一个 1 的位置，时间复杂度 O(n^5)，可以用斜率优化优化到 O(n^4 log n)
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摘要：枚举x。一个x可行当且仅当，0,1,...,2^x-1都能被表示为S的一个子集的异或和。可以对S建线性基判断。然后每个值会对应一个S的子集，也就是对应一个S的线性基的子集。我们要构造一种方案，把2^x个S的线性基的子集排列，使得相邻两数只有一个二进制位不同。可以用格雷码
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摘要：n为偶数时先手必胜。n为奇数时，所有数之和mod 2n=n，所以只需要找出一个和是n的倍数的方案即可。容易证明，一定存在一种方案，把mod n=0,1,2,...,n-1的数各选一次
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摘要：可以证明，我们总能通过巧妙地安排删除顺序，使得所有“理论上能被删除的数”都被删掉。那么，对于前i个数里最多能删多少个，容易得到递推式 f(i) = f(i-1) + [i>=a(i) and f(i-1)>=i-a(i)]。区间询问。我们对每个i，预处理出使得它能被删掉时，前面最多ban掉多少个数。预处理可以二分+主席树求。询问可以直接在主席树上查询。
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