[学习笔记]整数划分问题

整数划分问题

将正整数n表示成一系列正整数之和，

n=n₁+n₂+n₃+...+n_k (其中，n1≥n2≥...≥nk≥1,k≥1)

正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同的划分个数称为正整数n的划分数，记作P(n)。

例如，正整数6有如下11种不同的划分，所以P(6)=11。

6;

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;

在正整数n的所有不同的划分中，将最大加数N_max不大于m的划分个数记作Q(n,m)。

1. 首先我们能知道Q(n,1)=1,n≥1,就是N_max不大于1的时候，如Q(6,1)即为1+1+1+1+1+1这一种，所以Q(n,1)=1;
2. 当m大于n时，Q(n,m)=Q(n,n),因为最大加数Nmax不能大于n，所以有Q(1,m)=1，如Q(6,8)=Q(6,6);
3. Q(n,n)=1+Q(n,n-1),如Q(6,6)=1+Q(6,5)(其实6本身算不算做一种划分我不太确定……因为定义此问题的时候描述的是将正整数n表示成一系列正整数之和，而6本身并没有和其他正整数相加……但是书上是这么写的= =);
4. Q(n,m)=Q(n,m-1)+Q(n-m,m),n>m>1;

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//  main.c
//  整数划分
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#include <stdio.h>

int IntegerDivide(int n,int m){
    if((n<1)||(m<1)) {
        return 0;
    }
    if ((n==1)||(m==1)) {
        return 1;
    }
    if (n<m) {
        return IntegerDivide(n, n);
    }
    if (n==m) {
        return IntegerDivide(n, m-1)+1;
    }
    return IntegerDivide(n, m-1)+IntegerDivide(n-m, m);
}

int main(int argc, const char * argv[])
{
    int n,m,k;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    k=IntegerDivide(n, m);
    printf("%d",k);
}