关于函数的连续性

      在数学发展历史上，函数的连续性质在很长时间内被认为是当然的。

    根据维基网站的说法：历史上第一个比较严格的函数连续性定义归功于伯纳德·波尔查诺。他在1817年用德文写下的定义是这样的：函数在点是连续的，充分必要条件是：：

“…… 若 h 足够小时，比任何事先给定的量都小”。

然后波尔查诺在证明中值定理时用ε来表示所谓“事先给定的量”。

大约6年以后，在1823年，法国数学家柯西也给了一个定义，但此定义还不如波尔查诺前面给出的定义清楚:

“…… 的大小随着 h 的减小而不确定地减小。……变量（指 x ）的一个无穷小的增长会导致函数本身（指 f(x) ）的一个无穷小的增长”。这里的无穷小指的是：一个量的“绝对值不断而无止境地减小以至于小于任何一个事先给定的量”。

       现代函数连续性的(ε,δ)极限定义只是把波尔查诺在其证明里的写法中“事先给定的量”用ε来代替就可以了。这个现代函数连续性的定义第一次公开发表在刊物上是在1984年由维尔斯特拉斯的一个学生海涅根据魏尔斯特拉斯的讲义写的。

       上世纪60年代，美国数学家A.Robinson创立了《非标准分析》。随后，在1976年，J.Keisler基于《非标准分析》给出了函数连续性的无穷小定义如下：

DEFINITION

f is said to be continuous at a point c if

(1) f is defined at c;

(2)  whenever x is infinitely close to c, f(x) is infinitely close to f(c).

        这就是说，我们在引入超实数*R之后，明确了“无限地接近”是什么意思，函数的连续性就定义好说了（该定义很直观）。由此可见，无穷小微积分的确立是现代数学的一大进步，概念非常清晰，理论得以简化。我们为什么要吊死在（ε，δ）极限论上呢？微积分学，作为现代数学的基础理论，进展是缓慢的，每一步都是非常艰辛的。透过微积分袖珍电子书，我们看到了这一进展的历程。目前，我们正在完善、“打磨”袖珍电子书（配图），使其成为“图文精品”，字字句句都要经得起时间的考验。我们并不急于求得“快速成功”，慢慢悠悠，等待着人们的最终醒悟。