阶乘与斐波那契数的理解

  在算法导论第三章中，提到了阶乘和斐波那契数，颠覆或者说是加深了我以前对这两种数的理解。以前是无法想象这个数有多大，但现在是有了一个概念。

  阶乘

  阶乘的定义为

n!= n>0?1:n*(n-1)!

  根据斯特林公式Stirling有：

 

 

n!=sqrt(2pi*n)*(n/e)^n*(1+THETA(1/n))

  由这个公式，数学中关于阶乘与其他函数大小的比较就了然了。

 

  另一个关系式也有所帮助：

 

n!=sqrt(2pi*n)*(n/e)^n*e^(an)
1/(12n+1)<an<1/(12n)

 

 

  斐波那契数

  其定义为

 

F0=0
F1=1
F(i)=F(i-2)+F(i-1),i>=2

  序列为：

 

 

0，1，1，2，3，5，8，13，21…………

  斐波那契数和黄金分割比例fai与^fai有密不可分的关系。

 

 黄金分割比例为下面方程的两个解：

 

x^2=x+1

  解为：

 

 

fai=(1+sqrt(5))/2=1.61803
^fai=(1-sqrt(5))/2=0.61803

 这样就有：

 

 

Fi=(fai^i-^fai^i)/sqrt(5)

  可以归纳法证明。

 

 又由于：

 

abs(^fai^i)/sqrt(5)<1/sqrt(5)<1/2
===>
Fi=floor((fai^i)/sqrt(5)+1/2)

 这样，斐波那契数就是指数增长的。