【博弈论】翻硬币游戏8种模型

翻硬币游戏
一般的翻硬币游戏的规则是这样的：

N 枚硬币排成一排，有的正面朝上，有的反面朝上。我们从左开始对硬币按1 到N 编号。

第一，游戏者根据某些约束翻硬币，但他所翻动的硬币中，最右边那个硬币的必须是从正面翻到反面。例如，只能翻3个硬币的情况，那么第三个硬币必须是从正面翻到反面。如果局面是正正反，那就不能翻硬币了，因为第三个是反的。

第二，谁不能翻谁输。

有这样的结论：局面的SG 值为局面中每个正面朝上的棋子单一存在时的SG 值的异或和。即一个有k个硬币朝上，朝上硬币位置分布在的翻硬币游戏中，SG值是等于k个独立的开始时只有一个硬币朝上的翻硬币游戏的SG值异或和。比如THHTTH这个游戏中，2号、3号、6号位是朝上的，它等价于TH、TTH、TTTTTH三个游戏和，即\(sg[THHTTH]=sg[TH] \bigoplus sg[TTH]\bigoplus sg[TTTTTH]\).我们的重点就可以放在单个硬币朝上时的SG值的求法。

约束条件一：每次只能翻一个硬币。

一般规则中，所翻硬币的最右边必须是从正面翻到反面，因为这题是只能翻一个硬币，那么这个硬币就是最右边的硬币，所以，每次操作是挑选一个正面的硬币翻成背面。

对于任意一个正面的硬币，SG值为1。

有奇数个正面硬币，局面的SG值 == 1，先手必胜，有偶数个正面硬币，局面的SG值 == 0，先手必败

约束条件二：每次能翻转一个或两个硬币。(不用连续)

每个硬币的SG值为它的编号，初始编号为1，可以转化为NIM游戏

如果对于一个局面，把正面硬币的SG值异或起来不等于0，既a1 ^ a2 ^ a3 ^ … ^ an == x,

那么玩家必然可以通过翻转一个或两个硬币使得异或和为0
证明：不妨设x的二进制表示中最高一位1在第k位，那么在a1,a2,…,an中，必然有一个数ai，它的第k位是1，且ai' = ai ^ x<ai，

如果 ai' == 0，意思就是说，把 ai 这个值从式子中去掉就可以了。对应游戏，就是把编号为ai'的正面硬币翻成背面就可以了。

如果ai' !=0，意思就是说，把 ai 这个值从式子中去掉后再在式子中加上ai'。对应游戏，去掉ai'就是把编号为ai的正面硬币翻成背面，加上ai' ，如果编号为ai' 的硬币是正面，我们就把它翻成背面，是背面就翻成正面，总之，就是翻转编号为ai' 的硬币。

约束条件三：每次必须连续翻转k个硬币。

可以转化为巴什博弈

我们计算的是个数为N的硬币中，当中最后一个硬币为正面朝上,的sg值。

当N==1时。硬币为：正，先手必输，所以sg[1]=0。

当N==2时，硬币为：反正。先手必输，所以sg[2]=0。

当N==3时，硬币为：反反正，先手必胜。所以sg[3]=1。

当N==4时，硬币为：反反反正。先手操作后为：反正正反，子状态局面的SG=0^1=1，那么sg[4]=0。

当N==5时，硬币为：反反反反正。先手操作后为：反反正正反。子状态局面的SG=1^0=1。那么sg[5]=0。

当N==6时，硬币为：反反反反反正。先手操作后为：反反反正正反。子状态局面的SG=0^0=0。那么sg[6]=1。

依据观察，能够知道:从编号为1开始，sg值为：001 001 001 001……

依据观察，能够知道，sg的形式为000…01 000…01，当中一小段0的个数为k-1。

约束条件4：每次翻动一个硬币后。必须翻动其左侧三个硬币中的一个，即翻动第x个硬币后。必须选择x-1。x-2，x-3中的当中一个硬币进行翻动，除非x是小于等于3的。（Subtraction Games）

还是可以转化为类似巴什博弈的模型

当N == 1时，硬币为：正，先手必赢，所以sg[1]=1。

当N == 2时。硬币为：反正，先手必赢，由于先手能够翻成反反或正反。可能性为2。所以sg[2] == 2。

当N == 3时，硬币为：反反正，先手操作后能够为：反正

位置x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

sg[x]： 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…

这个与每次最多仅仅能取3个石子的取石子游戏的SG分布一样，相同还有相似的这类游戏，约束条件5也是一样。

约束条件5：每次必须翻动两个硬币，并且这两个硬币的距离要在可行集S={1,2,3}中。硬币序号从0开始。(Twins游戏)

当N == 1时，硬币为：正，先手必输，所以sg[0]=0。

当N == 2时，硬币为：反正，先手必赢。所以sg[1]=1。

当N == 3时。硬币为：反反正。先手必赢，所以sg[2]=2。

当N == 4时，硬币为：反反反正，先手必赢，所以sg[3]=3。

当N == 5时。硬币为：反反反反正，先手必输，所以sg[4]=0。

位置x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

sg[x]： 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…

约束条件6：每次能够翻动一个、二个或三个硬币（Mock Turtles游戏）

初始编号从0开始。

当N==1时。硬币为：正，先手必胜，所以sg[0]=1.

当N==2时，硬币为：反正，先手必赢，先手操作后可能为：反反或正反，方案数为2，所以sg[1]=2。

当N==3时，硬币为：反反正。先手必赢，先手操作后可能为：反反反、反正反、正反正、正正反。方案数为4。所以sg[2]=4。

位置x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

sg[x]： 1 2 4 7 8 11 13 14 16 19 21 22 25 26 28…

看上去sg值为2x或者2x+1。

下面引入一个概念：我们称一个非负整数为odious，当且仅当该数的二进制形式的1出现的次数是奇数，否则称作evil。

所以1，2，4，7是odious，因为它们的二进制形式是1,10,100,111。而0,3,5,6是evil，由于它们的二进制形式是0,11,101,110。

而上面那个表中。貌似sg值都是odious数。所以当2x为odious时，sg值是2x，当2x是evil时。sg值是2x+1.

这样怎么证明呢？我们会发现发现：

​ evil ^ evil = odious ^ odious = evil

​ evil ^ odious = odious ^ evil = odious

如果刚才的假说是成立的，我们想证明下一个sg值为下一个odious数。注意到我们总能够在第x位置翻转硬币到达sg为0的情况；通过翻转第x位置的硬币和两个其他硬币。我们能够移动到全部较小的evil数，由于每一个非零的evil数都能够由两个odious数异或得到。可是我们不能移动到下一个odious数，由于不论什么两个odious数的异或都是evil数。

假设在一个Mock Turtles游戏中的首正硬币位置x1,x2,…,xn是个P局面。即sg[x1]^…sg[xn]=0.那么无可置疑的是n必然是偶数，由于奇数个odious数的异或是odious数，不可能等于0。而由上面可知sg[x]是2x或者2x+1，sg[x]又是偶数个，那么x1 ^ x 2 ^ …^ xn = 0。相反，假设x1 ^ x 2 ^ … ^ xn = 0且n是偶数，那么sg[x1] ^ … ^ sg[xn]=0。这个假设不太理解的话，我们能够先这么看下：2x在二进制其中相当于把x所有左移一位，然后补零，比方说2的二进制是10。那么4的二进制就是100。而2x+1在二进制其中相当于把x所有左移一位，然后补1，比方说2的二进制是10，5的二进制是101。如今看下sg[x1] ^ … ^ sg[xn]=0，由于sg[x]是2x或者2x+1。所以式子中的2x+1必须是偶数个（由于2x的最后一位都是0,2x+1的最后一位都是1，要最后异或为0,2x+1必须出现偶数次），所以:MT游戏其中的P局面是拥有偶数堆石子的Nim游戏的P局面。

其实只需要记住MT游戏中每个位置的sg为对应的odious数（2x或2x+1）即可

约束条件7：每次能够连续翻动随意个硬币，至少翻一个。（Ruler游戏）

初始编号从1开始。

那么这个游戏的SG函数是g(n)=mex{0,g(n-1),g(n-1) ^ g(n-2),…,g(n-1) ^ … ^ g(1)}

依据SG函数能够得到SG值表例如下：

位置x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16...

g(x): 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16…

所以sg值为x的因数其中2的能达到的最大次幂。比方14=2 * 7，最大1次幂。即2；16=2 * 2 * 2 * 2。最大4次幂，即16。

这个游戏成为尺子游戏是由于SG函数非常像尺子上的刻度。

约束条件8：每次必须翻转4个对称的硬币，最左与最右的硬币都必须是从正翻到反。（开始的时候两端都是正面）（Grunt游戏）

这是Grundy游戏的变种，初始编号从0开始。

当正硬币位置为0,1,2时是terminal局面，即 终结局面，sg值都是0。当正硬币位置n大于等于3的时候的局面能够通过翻0,x,n-x,n四个位置得到(当中x<n/2可保证胜利)。

这就像是把一堆石子分成两堆不同大小石子的游戏，也就是Grundy游戏。
小结：
遇到翻硬币问题，如果找不到现成的模型，可以尝试往现有的模型（如nim游戏、巴什博弈等转化），不行就暴力打表sg函数找规律即可