【数论】裴蜀定理+拓展欧几里得算法

Part 1：裴蜀定理

一、定理内容：

　　对于方程 ax+by=d，若有解x∈Z*，y∈Z*，则gcd(a,b)|d

二、很不严谨的证明：

　　设s=gcd(a,b)，显然s|a，s|b

　　x∈Z*，y∈Z*，因此s|ax，s|by

　　要使ax+by=d成立，d必然是s的倍数

　　得证

三、例题：P4549 【模板】裴蜀定理 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

　　（1）思路：上文所述的裴蜀定理只解决了两个未知数的情况，实际上可以拓展到多个未知数

　　式子形如 a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+...+a_nx_n=d，若x₁到x_n均为整数，则gcd(a₁,a₂,...,a_n)|d，证明方式相同

　　（2）solution：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
inline int GCD(int x,int y)//欧几里得算法求gcd(a,b)
{return x%y?GCD(y,x%y):y;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int ans=0,tmp;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&tmp);
        if(tmp<0) tmp=-tmp;//gcd(a,b)=gcd(a,-b)，为避免出错，都调为正
        if(!tmp) continue;//a%0是错误的，排除
        ans=GCD(ans,tmp);//求当前数字与前面所有数的gcd的gcd
　　　　　//特别的，当ans=0时GCD(0,tmp)=tmp
    }
    printf("%d",ans);
}

 Part 2：拓展欧几里得算法

一、算法原理：

　　对于每对整数a，b有且仅有一组整数x，y满足 ax+by=gcd(a,b)，且gcd(a,b)是满足此关系的最小值

　　可以看出，拓展欧几里得就是裴蜀定理的一种应用，欧几里得算法就可以求出x，y

二、递推式证明：

　　先看gcd(a,b)的计算过程

a	b	余数r	商q
a	b	r1=a%b	q1=a÷b
b	r1	r2=b%r1	q2=b÷r1
...	...	...	...
rn-2	rn-1	rn=rn-2+rn-1	qn=rn-2÷rn-1
rn-1	rn	rn+1=rn-1%rn	qn+1=rn-1÷rn

　　直到出现r_n-1%r_n=0的情况，找到了最大公约数，返回r_n

　　由r_i÷r_i+1=q_i······r_i+2得r_i=r_i÷r_i+1×r_r+i+r_i+2 ①

　　式子有点奇怪，但先不要化简

　　因为ax+by=d，所以在gcd(a,b)过程中，任意r_ix_i+r_i+1y_i=gcd(a,b)是成立的，因此我们可以得到

　　　　　　r_ix_i+r_i+1y_i=gcd(a,b) ②

　　　　　　r_i+1x_i+1+r_i+2y_i+1=gcd(a,b) ③

　　将式①分别代入②③，并将②③合并可以得到

　　　　　　(r_i÷r_i+1·r_i+1+r_i+2)x_i+r_i+1y_i=r_i+1x_i+1+r_i+2y_i+1

　　然后进行变形

　　　　　　r_i÷r_i+1·r_i+1x_i+r_i+2x_i+r_i+1y_i=r_i+1x_i+1+r_i+2y_i+1

　　　　　　(r_i÷r_i+1·x_i+y_i)r_i+1+r_i+2x_i=r_i+1x_i+1+r_i+2y_i+1

　　由系数相等的性质可得

　　　　　　y_i=x_i+1+x_i·r_i÷r_i+1

　　　　　　x_i=y_i+1

　　至此，我们就得到了x_i与x_i+1之间的递推关系

三、递归边界：

　　找到了递推式，我们需要一个边界

　　在r_n%r_n+1=0时，gcd(a,b)=r_n+1，显然，此时方程

　　　　　　r_nx+r_n+1y=gcd(a,b)

　　的解为x=0，y=1

　　这样，我们就可以利用最后一组解计算出原来x，y的值

四、代码模板：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long//代码千万条，long long第一条
using namespace std;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0){x=1,y=0;return a;}//到达边界,回溯
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;//tmp中存的是xi+1,ans中存的是gcd(a,b)
    x=y,y=tmp-a/b*y;//递推关系式
    return d;
}
int main()
{
    ll a,b,x,y;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld",exgcd(a,b,x,y));//输出gcd(a,b)
    printf(" %lld %lld\n",x,y);//输出x,y
}

五、例题：

　　已知a，b求解ax+by=gcd(a,b)的一组整数解，使得|x|+|y|最小

　　输入格式：输入为T组数据，第一行有一个正整数T，接下来T行每行两个正整数a，b

　　输出格式：对于每组输出，输出三个整数d，x，y

　　样例输入：

4
6 6
8 12
11 17
2 8

　　样例输出：

6 0 1
4 -1 1
1 -3 2
2 1 0

　　看到题目第一眼我愣了一下，如何对解加限制？

　　但是拿这个题出来只是为了强调一点ax+by=gcd(a,b)有且只有一组解！！！

　　然后套模板就可以了