【数论】欧几里得算法

一、具体内容：

　　内容很简单，只有一个式子：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，可以用来求a与b的最大公因数

二、不严谨的证明：

　　首先不妨设a>b，r=a%b且r≠0，得到a=kb+r（a,b,r,k均为正整数）

　　设d是a和b的一个公因数，即d|a,d|b

　　已知r=a-kb，将两边同除d，即r/d=a/d-kb/d，a,b均是d的倍数，

　　因此a/d与kb/d均为整数，可得r/d为整数，即d|(a%b)

　　因此d也是b,a mod b的公约数，因(a,b)与(b,a%b)的公因数相等，

　　所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，得证

三、代码实现

　　我们很容易就可以看出gcd(a,b)的子问题结构，接下来考虑边界，当a%b==0，即a时b的倍数时，显而易见gcd(a,b)=b

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x,y;
int GCD(int a,int b)
{
    if(!(a%b)) return b;
    return GCD(b,a%b);
}
//可以用"?"运算符将函数压缩成这样
//int GCD(int a,int b){return a%b?GCD(b,a%b):b;}
int main()
{
    scanf("%d%d",&x,&y);
    printf("%d",GCD(x,y));
}

四、算法优化

　　上述算法的时间已经相当优秀了，我们只能用位运算对常数进行优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x,y;
int GCD(int a,int b)
{
    if(a==b) return a;
    if((a&1)&&(b&1)) return gcd(b,abs(a-b));
    else if((a&1)&&(!(b&1))) return gcd(a,b>>1);
    else if((!(a&1))&&(b&1)) return gcd(a>>1,b);
    else return gcd(a>>1,b>>1)<<1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&x,&y);
    printf("%d",GCD(x,y));
}