games101 作业1及作业2分析及解决详解透视矩阵

games101 作业1及作业2分析及解决

去年的时候把games101的课程以及作业完成，但是整个过程比较粗略，也借助了不少外界的力量（doge），于是最近准备抽几天集中再把作业（1-7）过一遍，常看常新嘛环境配置直接用：https://github.com/roeas/GAMES101-Premake 之前是在虚拟机上这次用vs也方便一些
有时间也会研究一下大作业

作业一

代码分析

简要分析一下整体的一个绘制流程
首先定义了绘制的视口同时初始化了像素缓冲区与深度缓冲区：

rst::rasterizer r(700, 700);
rst::rasterizer::rasterizer(int w, int h) : width(w), height(h)
{
    frame_buf.resize(w * h);
    depth_buf.resize(w * h);
}

定义相机位置、三角形三个顶点在空间中的位置，三个顶点的索引顺序，注意我这里相机位置和顶点位置设置的都和原来不一样，这里后面再提：

Eigen::Vector3f eye_pos = {0, 0, 0};

std::vector<Eigen::Vector3f> pos{{2, 0, 12}, {0, 2, 12}, {-2, 0, 12}};

std::vector<Eigen::Vector3i> ind{{0, 1, 2}};

然后创建对应三角形的顶点缓冲区以及索引缓冲区：

auto pos_id = r.load_positions(pos);
auto ind_id = r.load_indices(ind);
rst::pos_buf_id rst::rasterizer::load_positions(const std::vector<Eigen::Vector3f> &positions)
{
    auto id = get_next_id();
    pos_buf.emplace(id, positions);

    return {id};
}

rst::ind_buf_id rst::rasterizer::load_indices(const std::vector<Eigen::Vector3i> &indices)
{
    auto id = get_next_id();
    ind_buf.emplace(id, indices);

    return {id};
}

然后就是设置模型、观察以及透视矩阵，最后绘制
绘制部分：

void rst::rasterizer::draw(rst::pos_buf_id pos_buffer, rst::ind_buf_id ind_buffer, rst::Primitive type)
{
    if (type != rst::Primitive::Triangle)
    {
        throw std::runtime_error("Drawing primitives other than triangle is not implemented yet!");
    }
    读取对应的三角形的顶点以及索引信息
    auto& buf = pos_buf[pos_buffer.pos_id];
    auto& ind = ind_buf[ind_buffer.ind_id];

    float f1 = (100 - 0.1) / 2.0;
    float f2 = (100 + 0.1) / 2.0;

    Eigen::Matrix4f mvp = projection * view * model;
    for (auto& i : ind)
    {
        Triangle t;
        转换到屏幕空间
        Eigen::Vector4f v[] = {
                mvp * to_vec4(buf[i[0]], 1.0f),
                mvp * to_vec4(buf[i[1]], 1.0f),
                mvp * to_vec4(buf[i[2]], 1.0f)
        };
        透视除法
        for (auto& vec : v) {
            vec /= vec.w();
        }
        转换到像素空间
        for (auto & vert : v)
        {
            vert.x() = 0.5*width*(vert.x()+1.0);
            vert.y() = 0.5*height*(vert.y()+1.0);
            vert.z() = vert.z() * f1 + f2;
        }
        设置三角形的各个顶点
        for (int i = 0; i < 3; ++i)
        {
            t.setVertex(i, v[i].head<3>());
            t.setVertex(i, v[i].head<3>());
            t.setVertex(i, v[i].head<3>());
        }
        设置各个顶点的颜色
        t.setColor(0, 255.0,  0.0,  0.0);
        t.setColor(1, 0.0  ,255.0,  0.0);
        t.setColor(2, 0.0  ,  0.0,255.0);
        绘制 这里是用线框形式绘制 使用的画线算法是Bresenham
        rasterize_wireframe(t);
    }
}

理论分析

贴一张大致的总结图
重点分析透视矩阵的推导
这里我介绍一下d3d12龙书的推导过程

把点投影到我们的投影平面上利用相似我们可以得到的关系是（假设投影平面到我们摄像机的距离为1）：

\[x^{'} = \frac{x}{z} \]

\[y^{'} = \frac{y}{z} \]

为了规范化归一化我们是要把投影平面\(x\in [-width/2,width/2]\)与\(y\in [-height/2,height/2]\) 转换到[-1,1]的这个平面上，要经历变换：

\[x^{'} = \frac{x*2}{W} \]

\[y^{'} = \frac{y*2}{H} \]

如果我们使用fov 与宽高比(r)来表示则可以转化为：

\[x^{'} = \frac{x}{(r* tan \frac{Fov}{2})} \]

\[y^{'} = \frac{y}{tan \frac{Fov}{2}} \]

可以看出我们其实是要对x，y进行两步变换我们可以第一步先进行归一化变换
同时为了进行透视除法我们需要存储z坐标，所以在第一步中我们要利用w分量来存储z值，得到的变换过程如下：

\[\begin{bmatrix} \frac{1}{r\tan \frac{Fov}{2}} & 0 &0 &0 \\ 0& \frac{1}{\tan \frac{Fov}{2}}&0 &0 \\ 0& 0& A& B\\ 0& 0& 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \\ z\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{x}{(r* tan \frac{Fov}{2})}\\ \frac{y}{tan \frac{Fov}{2}} \\ Az+B\\ z \end{bmatrix}\]

之后第二步再进行透视除法：

\[\begin{bmatrix} \frac{x}{(rz* tan \frac{Fov}{2})}\\ \frac{y}{ztan \frac{Fov}{2}} \\ A+\frac{B}{z}\\ 1 \end{bmatrix}\]

最后我们还需要对z深度值进行归一化操作将z值转换到0-1 在上述矩阵中我们可以直接利用 A与B来进行，令近平面上的点深度值为0，远平面上的点深度值为1：

最终的透视矩阵：

\[\begin{bmatrix} \frac{1}{r\tan \frac{Fov}{2}} & 0 &0 &0 \\ 0& \frac{1}{\tan \frac{Fov}{2}}&0 &0 \\ 0& 0& \frac{f}{f-n} & \frac{-nf}{f-n} \\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\]

实际解决

注意这里我设置的相机以及顶点位置发生变化：

Eigen::Vector3f eye_pos = {0, 0, 0};

std::vector<Eigen::Vector3f> pos{{2, 0, 12}, {0, 2, 12}, {-2, 0, 12}};
r.set_projection(get_projection_matrix(45, 1, 0.1, 50));

这样设置就不会出现原来三角形倒置的问题了
因为按照原来的设置 z轴是朝外的近平面原平面都设置为正相当于相机朝向是z轴正方向而三角形却在z轴负半轴方向这样会产生问题

我觉得这样改会比网上那个直接改透视矩阵要简单一些

Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle)
{
    Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity();

    // TODO: Implement this function
    // Create the model matrix for rotating the triangle around the Z axis.
    // Then return it.
    float Cos = cos(rotation_angle / 180.f * MY_PI);
    float Sin = sin(rotation_angle / 180.f * MY_PI);
    model << Cos, -Sin, 0, 0,
        Sin, Cos, 0, 0,
        0, 0, 1, 0,
        0, 0, 0, 1;
    return model;
}

Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float zNear, float zFar)
{
    // Students will implement this function

    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();
    float TanFov = tan((eye_fov / 2) / 180.f * MY_PI);

    projection << 1 / (aspect_ratio * TanFov), 0, 0, 0,
        0, 1 / TanFov, 0, 0,
        0, 0, zFar / zFar - zNear, -zFar * zNear / zFar - zNear,
        0, 0, 1, 0;

    return projection;
}

效果展示：

作业二

理论分析

整个代码框架和作业一变化不大
最大的差别就是将之前使用画线算法绘制线框改为实际填充像素光栅化即
draw函数的变化
整个绘制过程如下：
1.找到三角形图元的boundingbox
2.判断范围内每个像素块是否在三角形内（使用叉积判断）叉积得到的是一个三维向量我们应该使用z坐标来判断（xy平面上做叉积得到的是一个垂直于xy平面的向量）如果三个叉积的结果同号则说明点（像素块中心点）在三角形内
3.使用面积比例计算得到重心坐标
4.使用重心坐标插值得到三角形内像素点的深度这里要进行透视校正插值但是原代码的方法是有错误的应该使用三维空间中的正确深度值而不是像素空间被压缩之后的深度值详细说明见：https://www.cnblogs.com/dyccyber/p/17873365.html 与 https://zhuanlan.zhihu.com/p/509902950
5.进行深度测试

实际解决

覆盖测试：
这里我直接计算了z坐标没有整体计算叉积

static bool insideTriangle(float x, float y, const Vector3f* _v)
{   
    // TODO : Implement this function to check if the point (x, y) is inside the triangle represented by _v[0], _v[1], _v[2]
    Vector2f v0P(x - _v[0].x(), y - _v[0].y());
    Vector2f v1P(x - _v[1].x(), y - _v[1].y());
    Vector2f v2P(x - _v[2].x(), y - _v[2].y());
    Vector2f v0v1(_v[1].x() - _v[0].x(), _v[1].y() - _v[0].y());
    Vector2f v1v2(_v[2].x() - _v[1].x(), _v[2].y() - _v[1].y());
    Vector2f v2v0(_v[0].x() - _v[2].x(), _v[0].y() - _v[2].y());
    float Xp0 = v0v1.x() * v0P.y() - v0v1.y() * v0P.x();
    float Xp1 = v1v2.x() * v1P.y() - v1v2.y() * v1P.x();
    float Xp2 = v2v0.x() * v2P.y() - v2v0.y() * v2P.x();
    return (Xp0 < 0 && Xp1 < 0 && Xp2 < 0) || (Xp0 > 0 && Xp1 > 0 && Xp2 > 0);

}

屏幕空间光栅化：
这里我使用了4xssaa进行抗锯齿要建立一个四倍的framebuffer与depthbuffer 依次对每个采样点进行覆盖与深度测试然后求平均颜色

void rst::rasterizer::clear(rst::Buffers buff)
{
    if ((buff & rst::Buffers::Color) == rst::Buffers::Color)
    {
        std::fill(frame_buf.begin(), frame_buf.end(), Eigen::Vector3f{0, 0, 0});
        std::fill(frame_sample.begin(), frame_sample.end(), Eigen::Vector3f{ 0, 0, 0 });
    }
    if ((buff & rst::Buffers::Depth) == rst::Buffers::Depth)
    {
        std::fill(depth_buf.begin(), depth_buf.end(), std::numeric_limits<float>::infinity());
    }
}

rst::rasterizer::rasterizer(int w, int h) : width(w), height(h)
{
    frame_buf.resize(w * h);
    depth_buf.resize(w * h * 4);
    frame_sample.resize(w * h * 4);
    helper[0].x() = 0.25;
    helper[0].y() = 0.25;

    helper[1].x() = 0.75;
    helper[1].y() = 0.25;

    helper[2].x() = 0.25;
    helper[2].y() = 0.75;

    helper[3].x() = 0.75;
    helper[3].y() = 0.75;
 
}

void rst::rasterizer::rasterize_triangle(const Triangle& t) {
    auto v = t.toVector4();
    int XMin = std::min(std::min(v[0].x(), v[1].x()), v[2].x());
    int XMax = std::max(std::max(v[0].x(), v[1].x()), v[2].x());
    int YMin = std::min(std::min(v[0].y(), v[1].y()), v[2].y());
    int YMax = std::max(std::max(v[0].y(), v[1].y()), v[2].y());
    for (int x = XMin; x < XMax; x++) {
        for (int y = YMin; y < YMax; y++) {
            int index = get_index(x, y) * 4;
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
                if (insideTriangle(x + helper[i].x(), y + helper[i].y(), t.v)) {
                    auto [alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(x + helper[i].x(), y + helper[i].y(), t.v);
                    float w_reciprocal = 1.0 / (alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());
                    float z_interpolated = alpha * v[0].z() / v[0].w() + beta * v[1].z() / v[1].w() + gamma * v[2].z() / v[2].w();
                    z_interpolated *= w_reciprocal;
                    if (z_interpolated < depth_buf[index+i]) {
                        depth_buf[index+i] = z_interpolated;
                        frame_sample[index+i] = t.getColor();
                    }
                }
            }
            frame_buf[index / 4] = (frame_sample[index] + frame_sample[index + 1] + frame_sample[index + 2] + frame_sample[index + 3]) / 4;
            
        }
    }

}

结果展示：

posted @ 2024-08-16 23:29 dyccyber 阅读(27) 评论(0) 编辑收藏举报

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