LiberOJ #124. 除数函数求和 【整除分块】

一、题目

　　#124. 除数函数求和

二、分析

　　比较好的一题，首先我们要对题目和样例进行分析，明白题目的意思。

　　由于对于每一个$d$，它所能整除的数其实都是定的，且数量是$ \lfloor \frac{n}{d} \rfloor $ 最终推导出这个公式 $$  ans =   \sum_{d=1}^{n} \lfloor \frac{n}{d} \rfloor d^{k}$$

　　对于$n <= 10^{7}$其实复杂度是可以接受的。但是对于求$d^{k}$这个复杂度如果直接用快速幂预处理肯定会T。

　　所以，这里用到了一个比较巧妙的方法，即联系线性求欧拉函数，因为幂次方是可以直接相乘的，所以把每个数相当于拆成了素数的$k$次方，这样我们原先求$n$次的快速幂，现在只需要求$\sqrt{n}$次快速幂，即所有素数求一次。然后线性筛一遍就可以了。

三、AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e7 + 13;
int Sum[maxn], Prime[maxn], tot;
bool isPrime[maxn];
int n, k;

int Pow(int a, int b)
{
    int ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = 1ll * ans * a % mod;
        }
        b >>= 1;
        a = 1ll * a * a % mod;
    }
    return ans;
}

void init()
{
    tot = 0;
    memset(isPrime, 0, sizeof(isPrime));
    isPrime[0] = isPrime[1] = 1;
    Sum[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(!isPrime[i])
        {
            Prime[tot++] = i;
            Sum[i] = Pow(i, k);
        }
        for(int j = 0; j < tot && 1ll * Prime[j] * i < maxn; j++)
        {
            isPrime[i * Prime[j]] = 1;
            Sum[i * Prime[j]] = 1ll * Sum[i] * Sum[Prime[j]] % mod;
            if(i % Prime[j])
                break;
        }
    }
}

int main()
{
    int ans = 0;
    cin >> n >> k;
    init();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int t = n / i;
        ans = (ans + 1ll * t * Sum[i] % mod) % mod; 
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}