闭值域定理相关的小结论

设\(X\), \(Y\)是\(\mathbb{K}\)(\({\mathbb{R}}\)或\(\mathbb{C}\))上的Banach空间, \(B(X,Y)\)是\(X\)到\(Y\)的所有有界线性算子之集.

命题1. 设\(T\in B(X,Y)\). 则
(1)\(\ker T\perp\operatorname{im}T^*\);
(2)\(\ker T^*\perp\operatorname{im}T\).
证明. 直接验证即可. \(\blacksquare\)

推论2. 上面的命题直接告诉我们:
(1)\(\ker T\subset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), \(\operatorname{im}T^*\subset(\ker T)^\perp\);
(2)\(\ker T^*\subset(\operatorname{im}T)^\perp\), \(\operatorname{im}T\subset\ ^\perp(\ker T^*)\).

自然, 我们希望上面的所有包含号实际上都是等号. 但是首先一个问题是, \(T\)和\(T^*\)的值域不一定是闭的; 而对任何集合\(A\subset X\), \(A^\perp\)总是闭的, 对任何\(B\subset X^*\), \(^\perp B\)也总是闭的. 所以我们退一步, 希望

• \(\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), \(\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp\);
• \(\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp\), \(\overline{\operatorname{im}T}=\ ^\perp(\ker T^*)\).

这看起来有点不太好记/不美观, 因为有的加了闭包, 有的没有加. 不过我们可以注意到一件事:

命题3. (1)设\(M\)是\(X\)的子空间, 则\(M^\perp=\overline M^\perp\);
(2)设\(M\)是\(X^*\)的子空间, 则\(^\perp M=\ ^\perp\overline M\).
证明. (1)由于\(M\subset\overline M\), 有\(M^\perp\supset\overline M^\perp\). 但是任何在\(M\)上为零的连续线性泛函也在\(\overline M\)上为零, 故\(M^\perp\subset\overline M^\perp\).
(2)由于\(M\subset\overline M\), 有\(^\perp M\supset\ ^\perp\overline M\). 另一方面把\(X\)中的元素看作\(X^*\)的连续线性泛函, 和上面一样的论证即可得到\(^\perp M\subset\ ^\perp\overline M\). \(\blacksquare\)

这告诉我们, 写\(\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), \(\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp\)是可以的, 写\(\ker T=\ ^\perp(\overline{\operatorname{im}T^*})\), \(\ker T^*=(\overline{\operatorname{im}T})^\perp\)也是可以的, 这两种写法是完全一样的.

现在我们来证明主要的命题.

命题4. 设\(T\in B(X,Y)\), 则
(1)\(\ker T=\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), \(\overline{\operatorname{im}T^*}\subset(\ker T)^\perp\);
(2)\(\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\perp\), \(\overline{\operatorname{im}T}=\ ^\perp(\ker T^*)\).
证明. (1)前面推论2已经证明了一半(注意由于\((\ker T)^\perp\)是闭的, 所以\(\operatorname{im}T^*\subset(\ker T)^\perp\)说明\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subset(\ker T)^\perp\)), 所以我们只需要证明\(\ker T\supset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\)就好了.
设\(x\in\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\), 对任何\(f\in Y^*\), 有\(\langle Tx,f\rangle=\langle x,T^*f^*\rangle=0\), 故\(Tx=0\), \(x\in\ker T\). 这就说明了\(\ker T\supset\ ^\perp(\operatorname{im}T^*)\).
(2)同样地, 推论2已经证明了一半, 我们只需要证明\(\ker T^*\supset(\operatorname{im}T)^\perp\), \(\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)\). 和(1)同样的论证可以证明\(\ker T^*\supset(\operatorname{im}T)^\perp\)(我检查过了). 现在来证明\(\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)\).
任取\(y\notin\overline{\operatorname{im}T}\), 我们来证明\(y\notin\ ^\perp(\ker T^*)\). 由Hahn-Banach延拓定理, 存在\(f\in Y^*\)使得\(f|_{\overline{\operatorname{im}T}}=0\), \(f(y)=1\).这样一来, \(T^*f=0\), 但\(\langle y,f\rangle=1\ne0\), 故\(y\notin\ ^\perp(\ker T^*)\). 这说明\(\overline{\operatorname{im}T}\supset\ ^\perp(\ker T^*)\). \(\blacksquare\)

这个结论十分对称好记, 只是非常可惜有一点点瑕疵. 事实上如果试图像上面一样用Hahn-Banach定理证明\(\overline{\operatorname{im}T^*}\supset(\ker T)^\perp\)时会发现由于\(X\)不一定自反, 类似的论证翻车了(请自行检查, 我检查了). 如果\(X\)自反, 那么瑕疵就被修复了. 我们把这段评述写成命题.

命题5. 设\(X\)自反, \(T\in B(X,Y)\), 则\(\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp\).

另一种修复瑕疵的方式是通过闭值域定理(即\(\operatorname{im}T\)闭等价于\(\operatorname{im}T^*\)闭)的一半.

命题6. 设\(T\in B(X,Y)\), 且\(\operatorname{im}T\)闭, \(\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp\).
证明. 把\(T\)沿着\(\operatorname{coker}T=X/\ker T\)分解, 即

\[X\overset{\pi}{\rightarrow}X/\ker T\overset{\widetilde{T}}{\rightarrow}\operatorname{im}T\overset{i}{\rightarrow}Y \]

这样有\(T=i\widetilde T\pi\), 故\(T^*=\pi^*\widetilde T^* i^*\). 注意由于\(\operatorname{im}T\)是闭的, 我们有\(\widetilde T\)是拓扑同胚, \(\widetilde T^*((\operatorname{im}T)^*)=(X/\ker T)^*\). 由Hahn-Banach定理, 又有\(i^*(Y^*)=(\operatorname{im}T)^*\), 所以\(T^*(Y^*)=\pi^*\widetilde T^* i^*(Y^*)\) \(=\pi^*\widetilde T^*((\operatorname{im}T)^*)=\pi^*((X/\ker T)^*)=(\ker T)^\perp\). 最后一步是因为子空间和商空间的对偶, 即\(\pi^*\)是\((\operatorname{im}T)^*\)到\((\ker T)^\perp\)的保范同构(自己验证).
这个论证(实际上这个论证还证明了闭值域定理)说明\(\operatorname{im}T^*=(\ker T)^\perp\), 结论由此易得. \(\blacksquare\)

最后一件事情是, 这个瑕疵是真实存在的吗? 毕竟无法证明\(\overline{\operatorname{im}T^*}=(\ker T)^\perp\)不代表它们真的不相等. 下面我们会看到, 确实存在这样的例子, 使得\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq(\ker T)^\perp\).

例7(来自StackExchange). 考虑\(X=Y=l^1\), \(T((x_n))=(x_n/n)\), 则\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq(\ker T)^\perp\).
证明. 显然\(\ker T=0\), 故\((\ker T)^\perp=(l^1)^*\cong l^\infty\). 我们只需要证明\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subsetneq l^\infty\).
我们来计算\(\operatorname{im}T^*\). 对\(f=(f_n)\in l^\infty\), 可以算出\(T^*f=(f_n/n)\in c_0\), 这里\(c_0=\{f\in l^\infty|\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=0\}\)是\(l^\infty\)的闭子空间(自己验证). 从而\(\overline{\operatorname{im}T^*}\subset c_0\subsetneq l^\infty\). \(\blacksquare\)