Riesz表示定理和Lax-Milgram定理

本文中设\(H\)是一个\(\Phi\)(\(\Phi=\mathbb{R}\)或\(\mathbb{C}\))上的Hilbert空间.
命题1.设\(C\)是\(H\)中的一个闭凸集, \(x\notin C\), 则存在唯一的\(x_0\in C\)使得\(\|x-x_0\|=\inf_{y\in C}\|x-y\|\).
证明.我们先证存在性. 记\(d=\inf_{y\in C}\|x-y\|\), 设\(\{x_n\} \subset C\)使得\(d\le\|x_n-x\|<d+1/n\), 我们想证\(\{x_n\}\)收敛到某个\(x_0\). 为此我们对\(x,x_n,x_m,x_n+x_m-x\)写出平行四边形等式:

\[2(\|x_m-x\|^2+\|x_n-x\|^2)=\|x_n-x_m\|^2+\|x_n+x_m-2x\|^2 \]

由此可知

\[\|x_n-x_m\|^2=2(\|x_m-x\|^2+\|x_n-x\|^2)-4\left\|x-\frac{x_n+x_m}{2}\right\|^2 \]

\[<2\left((d+1/m)^2+(d+1/n)^2\right)-4d^2=\frac{4d}{m}+\frac{4d}{n}+\frac{2}{m^2}+\frac{2}{n^2}\rightarrow0 \]

故\(\{x_n\}\)是Cauchy列, 而\(H\)完备, \(C\)闭, 故存在\(x_0\in C\)使得\(x_n\rightarrow x_0\), 由范数的连续性即知\(\|x-x_0\|=d\).
我们再证唯一性. 如果\(y_0\in C\)使得\(\|x-y_0\|=d\), 那么我们对\(x,x_0,y_0,x_0+y_0-x\)使用平行四边形等式得到

\[\|x_0-y_0\|^2=2(\|{x_0-x\|^2+\|y_0-x}\|^2)-4\left\|x-\frac{x_0+y_0}{2}\right\|^2 \]

\[\le4d^2-4d^2=0 \]

从而\(y_0=x_0\), 这就证明了唯一性. \(\rule{3mm}{3mm}\)

下面我们设\(M\)是\(H\)的闭子空间.
命题2.\(H=M\oplus M^\perp\).
证明.我们先证明\(H=M+M^\perp\). 任取\(x\in H\), 如果\(x\in M\), 当然有\(x\in M+M^\perp\), 如果\(x\notin M\), 那么存在\(x_M\)使得\(\|x-x_M\|=\inf_{y\in M}\|x-y\|\), 现在我们想证\(x-x_M\in M^\perp\). 为此我们任取\(y\in M\), 想证\(\langle y,x-x_M\rangle=0\). 考虑二次函数\(f(t)=\|x-x_M-ty\|^2=\|x-x_M\|^2-2t\operatorname{Re}\langle x-x_M,y\rangle+t^2\|y\|^2\), 由\(x_M\)的定义知\(f\)在\(t=0\)处取到最小值, 故\(\operatorname{Re}\langle x-x_M,y\rangle=0\). 以\(iy\in M\)替换\(y\)可得\(\operatorname{Im}\langle x-x_M,y\rangle=0\). 从而\(\langle x-x_M,y\rangle=0\).
这说明\(x-x_M\in M^\perp\), 即\(x=x_M+(x-x_M)\in M+M^\perp\), \(H=M+M^\perp\).
我们再证\(H=M\oplus M^\perp\). 若\(x\in H\)有两个分解\(x=x_1+x_2=y_1+y_2\), 其中\(x_1,y_1\in M,x_2,y_2\in M^\perp\), 则\(x_1-y_1=y_2-x_2\in M\cap M^\perp=\{0\}\), 从而\(x_1=y_1, x_2=y_2\). 这说明这两个分解是一样的, 故\(H=M\oplus M^\perp\). \(\rule{3mm}{3mm}\)

定义1.设\(x\in H\), 定义\(P_Mx\)为\(x\)在\(M\)上的最佳逼近元.
注记.由我们之前的讨论可以知道\(x-P_Mx\in M^\perp\).

命题3.对任何\(x\in H\), 有\(x=P_Mx+P_{M^\perp}x\).
证明.首先由之前的讨论我们有\(x=P_Mx+(x-P_Mx)=(x-P_{M^\perp}x)+P_{M^\perp}x\), 这里\(x-P_Mx\in M^\perp, x-P_{M^\perp}x\in(M^\perp)^\perp\). 如果我们能证明\((M^\perp)^\perp=M\), 那么由这种分解的唯一性即可推知结论.
显然\(M\subset(M^\perp)^\perp\), 为了证明另一边, 我们任取\(y\in(M^\perp)^\perp\). 我们有分解\(y=P_My+(y-P_My)\), 而\(y-P_My\in M^\perp\), 故\(0=\langle y,y-P_My\rangle=\|y-P_My\|^2\), 从而\(y=P_My\in M\). 这样就证明了\((M^\perp)^\perp\subset M\). \(\rule{3mm}{3mm}\)

我们现在对线性泛函的一般性质做一个小讨论.

定义2.设\(V\)是某个域\(F\)上的线性空间, \(U\)是它的子空间, \(U\)的余维数被定义为\(\dim V/U\).

命题4.设\(V\)是某个域\(F\)上的线性空间, \(0\ne f\in V^*\)是\(V\)上的线性函数, 则\(V\)的子空间\(N(f):=\{x\in V|f(x)=0\}\)的余维数为1.
证明.因\(f\ne0\), 故\(N(f)\ne V, V/N(f)\ne\{0\}, \dim V/N(f)>0\). 现在任取非零元素\(x+N(f),y+N(f)\in V/N(f)\), 则\(f(x),f(y)\ne0\). 此时我们有\(x/f(x)-y/f(y)\in N(f)\), 从而

\[\frac{x+N(f)}{f(x)}-\frac{y+N(f)}{f(y)}=N(f) \]

即\(x+N(f),y+N(f)\)线性相关, 故\(\dim V/N(f)<2\). 故\(\dim V/N(f)=1\). \(\rule{3mm}{3mm}\)

现在我们回到Hilbert空间的讨论. 我们之前证明了\(H=M\oplus M^\perp\), 此时我们还有线性同构\(\phi:M^\perp \rightarrow H/M, x \mapsto x+M\). 故\(M\)的余维数就是\(M^\perp\)的维数. 若\(f\in H^*\)是\(H\)上的连续线性泛函, 那么\(\dim N(f)^\perp=1\).

定理1(Riesz表示定理). 设\(f\in H^*\), 则存在唯一的\(u\in H\)使得\(\forall v\in H\), $f(v)=\langle v,u \rangle $.

证明. 先证存在性. 若\(f=0\), 则取\(u=0\)即可. 当\(f\ne0\)时, \(N(f)^\perp\ne\{0\}\). 我们任取\(0\ne u_1\in N(f)\), 再令\(u=\frac{\overline{f(u_1)}}{\|u_1\|^2}u_1\). 我们想说明这就是我们要寻找的\(u\).
任取\(v\in H\), 设\(P_{M^\perp}v=\lambda u\), 则

\[\langle v,u\rangle=\langle P_{M}v+P_{M^\perp}v,u\rangle=\lambda\|u\|^2=\lambda\frac{|f(u_1)|^2}{\|u_1\|^2} \]

\[f(v)=f(P_Mv+P_{M^\perp}v)=f(P_{M^\perp}v)=\lambda f(u)=\lambda\frac{|f(u_1)|^2}{\|u_1\|^2}=\langle v,u\rangle \]

接着我们再证唯一性. 如果\(u,u'\)都满足要求, 那么对任何\(v\), 我们有\(\langle v,u-u'\rangle=f(v)-f(v)=0\), 取\(v=u-u'\)即知\(\|u-u'\|^2=0\), 即\(u=u'\). \(\rule{3mm}{3mm}\)

定理2(实的Lax-Milgram定理).设\(H\)是\(\mathbb{R}\)上的Hilbert空间, \(B\)是\(H\times H\)上的双线性形式, 并且存在\(\alpha,\beta>0\)使得\(\forall u,v\in H\), \(\left|B[u,v]\right| \le\alpha\|u\|\|v\|\), \(|B[u,u]|\ge\beta\|u\|^2\), 则对任何\(f\in H^*\), 存在唯一的\(u\in H\)使得\(\forall v\), \(f(v)=B[u,v]\).

证明.对任何\(u\in H\), 我们定义线性泛函\(B_u(v):=B[u,v]\), 则显然\(\|B_u\|\le\alpha\|u\|\), 故\(B_u\)连续. 由Riesz表示定理, 存在\(Au\in H\)使得\(B[u,v]=\langle v,Au\rangle\), 这样我们就定义了一个线性映射\(A:H\rightarrow H\). 如果我们能说明\(A\)是满的, 那么由Riesz表示定理, 存在\(w\in H\)使得\(\forall v\in H,f(v)=\langle v,w\rangle\), 再由\(A\)满可设\(Au=w\), 则\(f(v)=\langle v,w\rangle=\langle v,Au\rangle=B[u,v]\).
现在我们集中精力证明\(A\)满.
首先,由于\(\|Au\|^2\ge|\langle Au,Au\rangle|=|B[u,Au]|\le\alpha\|u\|\|Au\|\), 故\(\|Au\| \le\alpha\|u\|\), 从而\(A\)连续. 另一方面, \(\|Au\|\|u\|\ge|\langle u,Au\rangle|=|B[u,u]|\ge\beta\|u\|^2\), 从而\(\|Au\|\ge\beta\|u\|\), 故\(A\)单.
我们再说明\(A\)的值域\(R(A)\)是闭的. 设\(Ax_n\rightarrow y\), 则\(\{Ax_n\}\)是Cauchy列, 由\(\|Ax_n-Ax_m\|\ge\beta\|x_n-x_m\|\)知\(\{x_n\}\)也是Cauchy列, 故可设\(x_n\rightarrow x\). 由\(A\)连续性知\(Ax_n\rightarrow Ax\), 故\(Ax=y\). 从而\(y\in R(A)\), \(R(A)\)闭.
现在由于\(H=R(A)\oplus R(A)^\perp\), 故我们只需证明\(R(A)^\perp=\{0 \}\)即可. 任取\(v\in R(A)^\perp\), 有\(0=|\langle v,Av\rangle|=|B[v,v]|\ge\beta\|v\|^2\), 从而\(v=0\). 这就说明了\(A\)是满的, 从而定理得证. \(\rule{3mm}{3mm}\)