调和分析笔记: Littlewood-Paley理论
最近看调和分析看得头痛, 为了整理思路, 也为了方便别人, 我把看书(主要是张晓轶的Lecture Notes on the Basic Analysis Tools for Critical Dispersive PDEs)遇到的gap都填上, 写成这篇笔记. 这篇笔记过去长时间处于未完成/低质量状态, 这次决心把坑填好.
首先我们需要紧支光滑函数来实现频率的局部化, 比方说如果\(\phi\in C_c^\infty(U)\), 那么\((\phi \widehat f)^\vee\)的频率(即它的Fourier变换)就被限制在了\(U\)内.
取函数\(\phi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^d)\), 满足以下条件:
(1)\(0\le\phi\le1\),
(2)在\(B_1(0)\)上\(\phi\equiv1\), 且\(\operatorname{supp}\phi\subset\{|x|\le2\}\),
(3)\(\phi\)是径向函数, 且关于\(|x|\)递减.
这样的\(\phi\)是存在的, 但是这里我们不讨论它的存在性(可以磨光\(\chi_{B_{3/2}(0)}\)得到, 磨光函数可见Evans偏微分方程第五章). \(\phi\)取好后就固定, 并且在这篇文章里我们把字母\(\phi\)特别地留给这个函数, 而不做它用.
定义\(\psi(x)=\phi(x)-\phi(2x)\), 则首先容易检验\(\psi\)有如下性质:
(1)\(0\le\psi\le1\),
(2)\(\psi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)\), 且\(\operatorname{supp}\psi\subset\{1/2\le|x|\le2 \}\),
(3)\(\psi\)是径向函数.
同样的, 字母\(\psi\)特别地留给这个函数, 而不做它用.
定义\(\phi_j=\delta^{2^{-j}}\phi\), \(\psi_j=\delta^{2^{-j}}\psi\). 这里\(\delta\)是伸缩算子, 定义为\(\delta^\lambda f(x)\overset{def}{=}f(\lambda x)\). 那么:
(1)\(\operatorname{supp}\phi_j\subset\{|x|\le2^{j+1}\}\),
(2)\(\operatorname{supp}\psi_j\subset\{2^{j-1}\le|x|\le2^{j+1}\}\).
我们将会看到, \(\{\psi_j\}_{j\in\mathbb{Z}}\)构成了\(\mathbb{R}^d\setminus\{0\}\)的局部有限的单位分解.
引理1. \(\forall x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}\), 有
\[\sum_{j=-\infty}^\infty\psi_j(x)=1 \]这个求和应该这样来理解: 对任何固定的\(x\ne0\), 上面的求和中最多仅有三项非零, 所以实际上对每个\(x\ne0\)来说这都是一个有限和.
证明. 由\(\operatorname{supp}\psi_j\subset\{2^{j-1}\le|x|\le2^{j+1}\}\)知对任何固定的\(x\ne0\), 上面的求和中最多仅有三项非零.\[\sum_{j=-\infty}^\infty\psi_j(x)=\sum_{j=-\infty}^\infty\psi(2^{-j }x)=\sum_{j=-\infty}^\infty\left(\phi(2^{-j }x)-\phi(2^{-j +1}x)\right) \]\[=\lim_{N\rightarrow+\infty}\sum_{j=-N}^N\left(\phi(2^{-j }x)-\phi(2^{-j +1}x)\right) \]\[=\lim_{N\rightarrow+\infty}(\phi(2^{-N}x)-\phi(2^{N+1}x))=1 \]\(\blacksquare\)
有了这些光滑截断函数, 我们可以来局部化一个函数的频率.
定义三族Littlewood-Paley算子\(\{P_k \}_{k\in\mathbb{Z}}\), \(\{P_{\le k} \}_{k\in\mathbb{Z}}\)和\(\{P_{>k}\}_{k\in\mathbb{Z}}\), 它们是\({\mathscr S}'\)到\({\mathscr S}'\)的映射, 定义为
由于Schwartz函数与缓增分布的卷积是一个不超过多项式增长的光滑函数(见Grafakos, GTM249), 所以我们知道\(P_kf\)和\(P_{\le k}f\)都是不超过多项式增长的光滑函数, 并且由Young不等式知当\(f\in L^p\)时, \(P_kf\),\(P_{\le k}f\)都属于\(L^p\).
现在我们对任一缓增分布\(f\)定义Littlewood-Paley平方函数\(Sf\).
注意\(Sf\)是逐点定义的.
为了证明Littlewood-Paley定理, 我们需要一族Rademacher函数\(\{r_m(t)\}_{m\ge0}\). 我们定义\(r_0(t)\)是一个\(\mathbb{R}\)上周期为1的周期函数, 满足
再定义\(r_m(t)=r_0(2^mt)\). 易见\(r_m\)的周期为\(2^{-m}\), 它在\([0,2^{-m})\)上前一半是1, 后一半是-1.
引理2. 设\(0\le m_1<\cdots < m_k\)是一些互不相等的整数, 则
\[\int_0^1r_{m_1}(t)\cdots r_{m_k}(t)dt=0 \]证明. 把\([0,1]\)分成\(2^{m_k}\)个区间讨论即可, 在每个区间上积分都是零, 加起来自然也是0.
\(\blacksquare\)
这个引理有一个很简单但是等下会用到的推论.
推论3. 如果\(\int_0^1r_{m_1}(t)\cdots r_{m_k}(t)dt\ne0\), 那么\(k\)是偶数, 并且\(m_1,\ldots,m_k\)可以分为\(k/2\)组, 每组里的两个数相等. 并且此时\(r_{m_1}(t)\cdots r_{m_k}(t)\equiv1\).
对一个\(l^2\)中的元素\(a=\{a_m\}_{m\ge0}\), 我们定义函数\(F(t)=\sum_{m=0}^\infty a_mr_m(t)\), 这是逐点定义的. 由于\(l^2\subset l^1\), 我们知道对每个\(t\), 这个级数都是绝对收敛的.
引理4. 设\(1<p<\infty\), 则
\[\|F\|_{L^p[0,1]}\sim_p\|F\|_{L^2[0,1]}=\|a\|_{l^2} \]证明. 当\(1 < p\le2\)时由Hölder不等式有\(\|F\|_{L^p[0,1]}\le\|F\|_{L^2[0,1]}\). 同理, \(2\le p<\infty\)时>\(\|F\|_{L^2[0,1]}\le\|F\|_{L^p[0,1]}\).
我们暂时先来计算\(\|F\|_{L^2[0,1]}\).\[\|F\|_2^2=\int_0^1\left(\sum_{m=0}^\infty a_mr_m(t)\right)^{2}dt \]\[\overset{\text{控制收敛定理}}{=}\sum_{m,m'=0}^\infty\int_0^1a_mr_m(t)a_{m'}r_{m'}(t)dt \]由推论3知只有那些\(m=m'\)的项不为零, 故
\[\|F\|_2^2=\sum_{m=0}^\infty a_m^2 \]现在我们对\(k\ge1\)计算\(\|F\|_{2k}\).
\[\|F\|_{2k}^{2k}=\int_0^1\left(\sum_{m=0}^\infty a_mr_m(t)\right)^{2k}dt \]\[=\sum_{m_1,\cdots,m_{2k}=0}^\infty\int_0^1a_{m_1}r_{m_1}(t)\cdots a_{m_{2k}}r_{m_{2k}}(t)dt \]利用推论3, 乘法计数原理以及不全相异全排列, 得到上式
\[\le\frac{(2k)!}{(2!)^k}\sum_{m_1,\cdots,m_{k}=0}^\infty a_{m_1}^2\cdots a_{m_k}^2=C_k\|a\|_{l^2}^{2k}=C_k\|F\|_2^{2k} \]这告诉我们\(\|F\|_{2k}\le C_k\|F\|_2\). 对任何\(p>2\), 存在一个\(k\)使得\(p<2k\), 譬如说可以取\(k=\left[ p/2\right]+1\). 由插值定理, \(\|F\|_p\le\|F\|_2^\theta\|F\|_{2k}^{1-\theta}=C_k^{1-\theta}\|F\|_2\lesssim_p\|F\|_2\). 最后当$1<p<2 $时, 由插值定理, \(\|F\|_2\le\|F\|_p^\theta\|F\|_4^{1-\theta}\lesssim\|F\|_p^\theta\|F\|_2^{1-\theta}\), 故\(\|F\|_2^\theta\lesssim\|F\|_p^\theta\Rightarrow\|F\|_2\lesssim\|F\|_p\).
\(\blacksquare\)
除了Rademacher函数, 我们还需要一个Mikhlin-Hörmander乘子定理.
定理5(Mikhlin-Hörmander乘子定理). 设\(1<p<\infty\), 再设\(k>d/2+1\)是一个整数. 如果\(m\in C^k(\mathbb{R}^d\setminus\{0\})\)满足一些有界性条件, 具体来说, 如果存在\(B>0\)使得
\[\|m\|_{\infty}\le B \]\[|\partial^\alpha m(\xi)|\le B|\xi|^{-|\alpha|}\ \ \ \forall \alpha\ \text{s.t.}|\alpha|\le k \]那么\(m\)是一个\(L^p(\mathbb{R}^d)\)乘子, 即由\(m\)定义的算子
\[Tf=(m\widehat{f})^\vee \]是\(L^p\)有界的, 并且
\[\|T\|_{L^p\rightarrow L^p}\lesssim_{d,p} B \]
下面是我们遇到的主要结果.
定理6(Littlewood-Paley定理). 当\(1<p<\infty\)时, 对任何\(f\in L^p\), 有\(Sf\in L^p\), 并且\(\|Sf\|_p\approx_{d,p,\psi}\|f\|_p\).
证明. 我们首先证明\(\|Sf\|_p\lesssim_{d,p,\psi }\|f\|_p\).
利用引理4, 我们有\[Sf(x)=\left(\sum_{m=-\infty}^\infty|P_mf(x)|^2\right)^{1/2} \]\[\overset{Minkowski}{\le}\left(\sum_{m=0}^\infty|P_mf(x)|^2\right)^{1/2}+\left(\sum_{m=0}^\infty|P_{-m}f(x)|^2\right)^{1/2} \]\[\overset{\text{引理4}}{\lesssim_p}\left\|\sum_{m=0}^\infty P_mf(x)r_m(t)\right\|_{L_t^p([0,1])}+\left\|\sum_{m=0}^\infty P_{-m}f(x)r_m(t)\right\|_{L_t^p([0,1])} \]在这个不等式两边取\(p\)次幂, 利用初等不等式\((a+b)^p\le 2^p(a^p+b^p)\), 然后对\(x\)积分再开\(p\)次方, 再利用\((a+b)^{1/p}\le2^{1/p}(a^{1/p}+b^{1/p})\)就得到
\[\|Sf(x)\|_{L_x^p(\mathbb{R}^d)}\lesssim_p\left\|\sum_{m=0}^\infty P_mf(x)r_m(t)\right\|_{L_{t,x}^p([0,1]\times\mathbb{R}^d)}+\left\|\sum_{m=0}^\infty P_{-m}f(x)r_m(t)\right\|_{L_{t,x}^p([0,1]\times\mathbb{R}^d)} \]\[\overset{\text{Hölder}}{\le}\left\|\sum_{m=0}^\infty P_mf(x)r_m(t)\right\|_{L_t^\infty(0,1;L_x^p(\mathbb{R}^d))}+\left\|\sum_{m=0}^\infty P_{-m}f(x)r_m(t)\right\|_{L_t^\infty(0,1;L_x^p(\mathbb{R}^d))} \]为了控制这两项, 我们定义两个算子\(T_t,T_t'\):
\[T_tf(x)=\sum_{m=0}^\infty P_mf(x)r_m(t) \]\[T_t'f(x)=\sum_{m=0}^\infty P_{-m}f(x)r_m(t) \]我们只要能够说明\(\|T_t\|_{L^p\rightarrow L^p},\|T_t'\|_{L^p\rightarrow L^p}\le C\), 并且这里\(C\)不依赖于\(t\), 就立即得到\(\|Sf\|_p\le2C\|f\|_p\).
考察\(T_t,T_t'\)所对应的乘子:\[m_t(\xi)=\sum_{m=0}^\infty\psi(2^{-m}\xi)r_m(t) \]\[m_t'(\xi)=\sum_{m=0}^\infty\psi(2^m\xi)r_m(t) \]然后检查这两个乘子确实满足Mikhlin-Hörmander乘子定理的条件即可, 我们现在就来做这件事.
首先由于\(\{\psi_j\}_{j\in\mathbb{Z}}\)是\(\mathbb{R}^d\setminus\{0\}\)局部有限的单位分解, 所以\(m_t,m_t'\in C^\infty(\mathbb{R}^d\setminus\{0\})\), 并且\[\|m_t\|_\infty,\|m_t'\|_\infty\le3 \]然后我们估计导数, 固定\(\xi\ne0\), 设\(2^{m_0}\le|\xi|<2^{m_0+1}\), 有
\[|\partial^\alpha m_t(\xi)|=\left|\sum_{m=0}^\infty2^{-m|\alpha|}(\partial^\alpha\psi)(2^{-m}\xi)r_m(t)\right| \]\[=\left|\sum_{m=m_0-1}^{m_0+1}2^{-m|\alpha|}(\partial^\alpha\psi)(2^{-m}\xi)r_m(t)\right| \]\[\le(2^{-(m_0-1)|\alpha|}+2^{-m_0|\alpha|}+2^{-(m_0+1)|\alpha|})\|\partial\psi\|_\infty\lesssim_\psi|\xi|^{-|\alpha|} \]这就验证好了, \(m_t'\)的验证也是完全类似的, 所以我们利用Mikhlin-Hörmander乘子定理得到\(\|Sf\|_p\lesssim_{d,p,\psi}\|f\|_p\).
定理的另一半我们使用对偶方法来证明. 我们现在假设\(f\in\mathscr{S}\), 一般的\(L^p\)函数可以用标准的稠密性论证达到.\[\|f\|_p=\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\overline{g(x)}dx \]\[\overset{\text{Parseval}}{=}\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\widehat f(\xi)\overline{\widehat g(\xi)}d\xi \]\[=\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi_k(\xi)\widehat f(\xi)\overline{\widehat g(\xi)}d\xi \]注意到在\(\operatorname{supp}\psi_k\)上\(\psi_{k-1}+\psi_k+\psi_{k+1}=1\), 故上式
\[=\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi_k\widehat f\overline{(\psi_{k-1}+\psi_k+\psi_{k+1})\widehat g}d\xi \]\[\overset{\text{记}\widetilde P_k=P_{k-1}+P_k+P_{k+1}}{=}\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k\in\mathbb{Z}}P_kf\tilde P_kgdx \]\[\le\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}|P_kf|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}|\tilde P_kg|^2\right)^{1/2}dx \]\[\le\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\|Sf\|_p\|Sg\|_{p'} \]\[\lesssim_{d,p,\psi}\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\|Sf\|_p\|g\|_{p'}=\|Sf\|_p \]
这就完成了证明. \(\blacksquare\)
在定理的证明中可以看到, 我们还额外定义了一个\(\tilde P_k\), 它对应的乘子是\(\psi_{k-1}+\psi_k+\psi_{k+1}\). 之后我们还会经常这样做, 也就是用其他的函数\(\widetilde\psi\)代替\(\psi\)作为乘子, 得到其他的频率局部化算子\(\widetilde P_kf=((\delta^{2^{-k}}\widetilde\psi)\widehat f)^\vee\). 为了搞清楚这样的替换会带来什么影响, 比如是否影响到Littlewood-Paley定理的成立, 我们现在来理一理证明过程中到底依赖了\(\psi\)的什么性质.
在证明\(\|Sf\|_p\lesssim\|f\|_p\)的过程中, 我们对\(\psi\)仅有的要求是要使得\(m_t,m_t'\)满足Mikhlin-Hörmander乘子定理的条件. 而这只需要\(\psi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)\)并且存在\(a<b\)使得\(\operatorname{supp}\psi\subset\{a\le|x|\le b\}\)就可以.
在证明\(\|f\|_p\lesssim\|Sf\|_p\)的过程中, 我们用到了定理的前一半, 并且还要求在\(\operatorname{supp}\psi_k\)上\(\psi_{k-1}+\psi_k+\psi_{k+1}=1\), 这里实际上是要求\(\{\psi_k\}\)是局部有限的单位分解, 或者存在\(\lambda>0\)使得\(\{\lambda\psi_k\}\)是局部有限的单位分解.
我们把这个讨论整理成注记.
注记7.
(1)如果\(\widetilde\psi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)\)并且存在\(a<b\)使得\(\operatorname{supp}\widetilde\psi\subset\{a\le|x|\le b\}\), 那么相应的Littlewood-Paley平方函数\(\widetilde Sf\)满足\(\|\widetilde Sf\|_p\lesssim\|f\|_p\).
(2)额外地, 如果存在\(\lambda>0\)使得\(\{\lambda\psi_k\}\)是局部有限的单位分解, 那么\(\|f\|_p\lesssim\|\widetilde Sf\|_p\).
我们常常会取的其他频率局部化算子以及它们对应的乘子有
- \(\widetilde P_k=\sum_{l=-k_0}^{k_1}P_{k+l}\), 对应的乘子是\(\widetilde\psi=\sum_{l=-k_0}^{k_1}\psi_l\). 这满足注记7的第一条, 也满足第二条.
- \(\widetilde P_k=2^{-ks}|\nabla|^sP_k\), 对应的乘子是\(\widetilde\psi=|\xi|^s\psi\). 这个算子满足注记7的第一条, 但不满足第二条.
