C73【模板】动态DP+树剖+矩阵乘+线段树 P4719 动态树分治

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Luogu P4719【模板】"动态 DP"&动态树分治

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int N=100005,inf=0x3f3f3f3f;
#define ls (u<<1)
#define rs (u<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
int n,m,a[N];
vector<int>G[N];
int fa[N],siz[N],son[N],f[N][2];
int dfn[N],id[N],top[N],bot[N],tot;
//dfn:dfs序,id:节点编号,top:链头节点,bot:链尾序号

void dfs(int x){ //树剖fa,siz,son,f
  siz[x]=1; f[x][1]=a[x];
  for(int y:G[x]){
    if(y==fa[x]) continue;
    fa[y]=x;
    dfs(y);
    siz[x]+=siz[y];
    if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;
    f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
    f[x][1]+=f[y][0];       
  }
}
void dfs(int x,int tp){ //树剖dfn,id,top,bot
  dfn[x]=++tot;id[tot]=x;top[x]=tp;bot[tp]=tot;
  if(son[x]) dfs(son[x],tp);
  for(auto y:G[x]){
    if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
    dfs(y,y);
  }
}

struct matrix{
  int g[2][2];
  matrix operator*(matrix b){ //广义矩阵乘积
    matrix t; memset(t.g,-0x3f,sizeof(t.g));
    for(int i=0; i<=1; ++i)
    for(int j=0; j<=1; ++j)
    for(int k=0; k<=1; ++k)
      t.g[i][j]=max(t.g[i][j],g[i][k]+b.g[k][j]);
    return t;
  }  
}mt[N],tr[N<<2];//节点g矩阵,线段树g矩阵及乘积

void build(int u,int l,int r){ //建线段树
  if(l==r){
    int x=id[l],g0=0,g1=a[x]; //g0不选x，g1选x
    for(auto y:G[x])
      if(y!=fa[x]&&y!=son[x])
        g0+=max(f[y][0],f[y][1]), //g0选或不选y
        g1+=f[y][0]; //g1不选y
    tr[u]=mt[x]={g0,g0,g1,-inf};
    return;
  }
  build(ls,l,mid);
  build(rs,mid+1,r);
  tr[u]=tr[ls]*tr[rs]; //g矩阵乘积
}
void change(int u,int l,int r,int p){ //点修
  if(l==r){tr[u]=mt[id[l]]; return;}
  if(p<=mid) change(ls,l,mid,p);
  else change(rs,mid+1,r,p);
  tr[u]=tr[ls]*tr[rs];
}
matrix query(int u,int l,int r,int x,int y){ //区查
  if(x==l&&r==y) return tr[u];
  if(y<=mid) return query(ls,l,mid,x,y);
  if(x>mid) return query(rs,mid+1,r,x,y);
  return query(ls,l,mid,x,mid)*query(rs,mid+1,r,mid+1,y);
}
void update(int u,int v){ //修改点权
  mt[u].g[1][0]+=v-a[u]; a[u]=v;
  while(u){
    matrix a=query(1,1,n,dfn[top[u]],bot[top[u]]);
    change(1,1,n,dfn[u]);
    matrix b=query(1,1,n,dfn[top[u]],bot[top[u]]);
    u=fa[top[u]]; //跳到链头的父节点
    mt[u].g[0][0]+=max(b.g[0][0],b.g[1][0])
                  -max(a.g[0][0],a.g[1][0]);
    mt[u].g[0][1]=mt[u].g[0][0];
    mt[u].g[1][0]+=b.g[0][0]-a.g[0][0];
  }
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m); int x,y;
  for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
  for(int i=1;i<n;i++){
    scanf("%d%d",&x,&y);
    G[x].push_back(y); G[y].push_back(x);
  }
  dfs(1);dfs(1,1); //树链剖分
  build(1,1,n);    //建线段树
  while(m--){
    scanf("%d%d",&x,&y);
    update(x,y); //修改点权
    matrix ans=query(1,1,n,dfn[1],bot[1]);
    printf("%d\n",max(ans.g[0][0],ans.g[1][0]));
  }
}

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int N=100005,inf=0x3f3f3f3f;
#define ls (u<<1)
#define rs (u<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
int n,m,a[N];
vector<int>G[N];
int fa[N],siz[N],son[N],f[N][2];
int dfn[N],id[N],top[N],bot[N],tot;
//dfn:dfs序,id:节点编号,top:链头节点,bot:链尾序号
struct matrix{
  int g[2][2];
  matrix operator*(matrix b){ //广义矩阵乘积
    matrix t; memset(t.g,-0x3f,sizeof(t.g));
    for(int i=0; i<=1; ++i)
    for(int j=0; j<=1; ++j)
    for(int k=0; k<=1; ++k)
      t.g[i][j]=max(t.g[i][j],g[i][k]+b.g[k][j]);
    return t;
  }  
}mt[N],tr[N<<2];//节点g矩阵,线段树g矩阵及乘积

void dfs(int x){ //树剖fa,siz,son,f
  siz[x]=1; f[x][1]=a[x];
  for(int y:G[x]){
    if(y==fa[x]) continue;
    fa[y]=x;
    dfs(y);
    siz[x]+=siz[y];
    if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;
    f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
    f[x][1]+=f[y][0];
  }
}
void dfs(int x,int tp){ //树剖dfn,id,top,bot,mt
  dfn[x]=++tot;id[tot]=x;top[x]=tp;bot[tp]=tot;
  if(son[x]) dfs(son[x],tp);
  mt[x].g[1][0]=a[x]; mt[x].g[1][1]=-inf;
  for(auto y:G[x]){
    if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
    dfs(y,y);
    mt[x].g[0][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
    mt[x].g[0][1]=mt[x].g[0][0];
    mt[x].g[1][0]+=f[y][0];
  }
}
void build(int u,int l,int r){ //建线段树
  if(l==r){tr[u]=mt[id[l]]; return;}
  build(ls,l,mid);
  build(rs,mid+1,r);
  tr[u]=tr[ls]*tr[rs]; //g矩阵乘积
}
void change(int u,int l,int r,int p){ //点修
  if(l==r){tr[u]=mt[id[l]]; return;}
  if(p<=mid) change(ls,l,mid,p);
  else change(rs,mid+1,r,p);
  tr[u]=tr[ls]*tr[rs];
}
matrix query(int u,int l,int r,int x,int y){ //区查
  if(x==l&&r==y) return tr[u];
  if(y<=mid) return query(ls,l,mid,x,y);
  if(x>mid) return query(rs,mid+1,r,x,y);
  return query(ls,l,mid,x,mid)*query(rs,mid+1,r,mid+1,y);
}
void update(int u,int v){ //修改点权
  mt[u].g[1][0]+=v-a[u]; a[u]=v;
  while(u){
    matrix a=query(1,1,n,dfn[top[u]],bot[top[u]]);
    change(1,1,n,dfn[u]);
    matrix b=query(1,1,n,dfn[top[u]],bot[top[u]]);
    u=fa[top[u]]; //跳到链头的父节点
    mt[u].g[0][0]+=max(b.g[0][0],b.g[1][0])
                  -max(a.g[0][0],a.g[1][0]);
    mt[u].g[0][1]=mt[u].g[0][0];
    mt[u].g[1][0]+=b.g[0][0]-a.g[0][0];
  }
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m); int x,y;
  for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
  for(int i=1;i<n;i++){
    scanf("%d%d",&x,&y);
    G[x].push_back(y); G[y].push_back(x);
  }
  dfs(1);dfs(1,1); //树链剖分
  build(1,1,n);    //建线段树
  while(m--){
    scanf("%d%d",&x,&y);
    update(x,y); //修改点权
    matrix ans=query(1,1,n,dfn[1],bot[1]);
    printf("%d\n",max(ans.g[0][0],ans.g[1][0]));
  }
}

 

// 常数优化的方法
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int read(){
  int s=0,w=1;char ch;
  while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
  while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
  return s*w;
}
const int N=100005,inf=0x3f3f3f3f;
#define mid ((l+r)>>1)
int h[N],to[N<<1],ne[N<<1],idx;
void add(int a,int b){to[++idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx;}
int n,m,a[N];
int root[N],ls[N<<2],rs[N<<2],nod;
int fa[N],siz[N],son[N],f[N][2];
int dfn[N],id[N],top[N],bot[N],tot;
//dfn:dfs序,id:节点编号,top:链头节点,bot:链尾序号
struct matrix{
  int g[2][2];
  matrix operator*(matrix b){ //广义矩阵乘积
    matrix t;
    t.g[0][0]=max(g[0][0]+b.g[0][0],g[0][1]+b.g[1][0]);
    t.g[1][0]=max(g[1][0]+b.g[0][0],g[1][1]+b.g[1][0]);
    t.g[0][1]=max(g[0][0]+b.g[0][1],g[0][1]+b.g[1][1]);
    t.g[1][1]=max(g[1][0]+b.g[0][1],g[1][1]+b.g[1][1]);
    return t;
  }
}mt[N],tr[N<<2]; //节点g矩阵, 线段树g矩阵及乘积

void dfs(int x){ //树剖fa,siz,son,f
  siz[x]=1; f[x][1]=a[x];
  for(int i=h[x];i;i=ne[i]){
    int y=to[i];
    if(y==fa[x]) continue;
    fa[y]=x;
    dfs(y);
    siz[x]+=siz[y];
    if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;
    f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0]);
    f[x][1]+=f[y][0];
  }
}
void dfs(int x,int tp){ //树剖dfn,id,top,bot,mt
  dfn[x]=++tot;id[tot]=x;top[x]=tp;bot[tp]=tot;
  if(son[x]) dfs(son[x],tp);
  mt[x].g[1][0]=a[x]; mt[x].g[1][1]=-inf;
  for(int i=h[x];i;i=ne[i]){
    int y=to[i];
    if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
    dfs(y,y);
    mt[x].g[0][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
    mt[x].g[0][1]=mt[x].g[0][0];
    mt[x].g[1][0]+=f[y][0];
  }
}
void build(int &u,int l,int r){ //建线段树
  u=++nod;
  if(l==r){tr[u]=mt[id[l]]; return;}
  build(ls[u],l,mid);
  build(rs[u],mid+1,r);
  tr[u]=tr[ls[u]]*tr[rs[u]];
}
void change(int u,int l,int r,int p){ //点修
  if(l==r){tr[u]=mt[id[l]]; return;}
  if(p<=mid) change(ls[u],l,mid,p);
  else change(rs[u],mid+1,r,p);
  tr[u]=tr[ls[u]]*tr[rs[u]];
}
matrix query(int u,int l,int r,int x,int y){ //区查
  if(x==l&&r==y) return tr[u];
  if(y<=mid) return query(ls[u],l,mid,x,y);
  if(x>mid) return query(rs[u],mid+1,r,x,y);
  return query(ls[u],l,mid,x,mid)*query(rs[u],mid+1,r,mid+1,y);
}
void update(int u,int v){ //修改点权
  mt[u].g[1][0]+=v-a[u]; a[u]=v;
  while(u){
    matrix a=tr[root[top[u]]];
    change(root[top[u]],dfn[top[u]],bot[top[u]],dfn[u]);
    matrix b=tr[root[top[u]]];
    u=fa[top[u]]; //跳到链头的父节点
    mt[u].g[0][0]+=max(b.g[0][0],b.g[1][0])
                  -max(a.g[0][0],a.g[1][0]);
    mt[u].g[0][1]=mt[u].g[0][0];
    mt[u].g[1][0]+=b.g[0][0]-a.g[0][0];
  }
}
int main(){
  n=read(),m=read(); int x,y;
  for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
  for(int i=1;i<n;i++){
    x=read(),y=read();
    add(x,y); add(y,x);
  }
  dfs(1);dfs(1,1); //树链剖分
  for(int i=1;i<=n;i++) //建线段树
    if(top[i]==i) build(root[i],dfn[i],bot[i]);
  for(int i=1;i<=m;i++){
    x=read(), y=read();
    update(x,y); //修改点权
    matrix ans=tr[root[1]];
    printf("%d\n",max(ans.g[0][0],ans.g[1][0]));    
  }
}

  

Luogu P4751 【模板】"动态DP"&动态树分治（加强版）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int read(){
  int s=0,w=1;char ch;
  while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') if(ch=='-') w=-1;
  while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
  return s*w;
}
const int N=1000005,inf=0x3f3f3f3f;
#define mid ((l+r)>>1)
int h[N],to[N<<1],ne[N<<1],idx;
void add(int a,int b){to[++idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx;}
int n,m,last,a[N];
int root[N],ls[N<<2],rs[N<<2],nod;
int fa[N],siz[N],son[N],dfn[N],id[N],top[N],bot[N],f[N][2],tot;
//son:重儿子，dfn:dfs序，id:节点编号，top:链头节点，bot:链尾序号
struct matrix{
  int g[2][2];
  matrix operator*(matrix b){ //广义矩阵乘积
    matrix t;
    t.g[0][0]=max(g[0][0]+b.g[0][0],g[0][1]+b.g[1][0]);
    t.g[1][0]=max(g[1][0]+b.g[0][0],g[1][1]+b.g[1][0]);
    t.g[0][1]=max(g[0][0]+b.g[0][1],g[0][1]+b.g[1][1]);
    t.g[1][1]=max(g[1][0]+b.g[0][1],g[1][1]+b.g[1][1]);
    return t;
  }
}mt[N],tr[N<<2]; //节点g矩阵, 线段树g矩阵及乘积

void dfs(int x){ //树剖fa,siz,son,f
  siz[x]=1; f[x][1]=a[x];
  for(int i=h[x];i;i=ne[i]){
    int y=to[i];
    if(y==fa[x]) continue;
    fa[y]=x;
    dfs(y);
    siz[x]+=siz[y];
    if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;
    f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0]);
    f[x][1]+=f[y][0];
  }
}
void dfs(int x,int tp){ //树剖dfn,id,top,bot,mt
  dfn[x]=++tot;id[tot]=x;top[x]=tp;bot[tp]=tot;
  if(son[x]) dfs(son[x],tp);
  mt[x].g[1][0]=a[x]; mt[x].g[1][1]=-inf;
  for(int i=h[x];i;i=ne[i]){
    int y=to[i];
    if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
    dfs(y,y);
    mt[x].g[0][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
    mt[x].g[0][1]=mt[x].g[0][0];
    mt[x].g[1][0]+=f[y][0];
  }
}
void build(int &u,int l,int r){ //建线段树
  u=++nod;
  if(l==r){tr[u]=mt[id[l]]; return;}
  build(ls[u],l,mid);
  build(rs[u],mid+1,r);
  tr[u]=tr[ls[u]]*tr[rs[u]];
}
void change(int u,int l,int r,int p){ //点修
  if(l==r){tr[u]=mt[id[l]]; return;}
  if(p<=mid) change(ls[u],l,mid,p);
  else change(rs[u],mid+1,r,p);
  tr[u]=tr[ls[u]]*tr[rs[u]];
}
matrix query(int u,int l,int r,int x,int y){ //区查
  if(x==l&&r==y) return tr[u];
  if(y<=mid) return query(ls[u],l,mid,x,y);
  if(x>mid) return query(rs[u],mid+1,r,x,y);
  return query(ls[u],l,mid,x,mid)*query(rs[u],mid+1,r,mid+1,y);
}
void update(int u,int v){ //修改点权
  mt[u].g[1][0]+=v-a[u]; a[u]=v;
  while(u){
    matrix a=tr[root[top[u]]];
    change(root[top[u]],dfn[top[u]],bot[top[u]],dfn[u]);
    matrix b=tr[root[top[u]]];
    u=fa[top[u]]; //上跳
    mt[u].g[0][0]+=max(b.g[0][0],b.g[1][0])-max(a.g[0][0],a.g[1][0]);
    mt[u].g[0][1]=mt[u].g[0][0];
    mt[u].g[1][0]+=b.g[0][0]-a.g[0][0];
  }
}
int main(){
  n=read(),m=read(); int x,y;
  for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
  for(int i=1;i<n;i++){
    x=read(),y=read();
    add(x,y); add(y,x);
  }
  dfs(1);dfs(1,1);
  for(int i=1;i<=n;i++) 
    if(top[i]==i) build(root[i],dfn[i],bot[i]);
  for(int i=1;i<=m;i++){
    x=read()^last, y=read();
    update(x,y);
    matrix ans=tr[root[1]];
    printf("%d\n",last=max(ans.g[0][0],ans.g[1][0]));    
  }
}